Quotient f(x)/e^x < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei f eine Funktion mit der Definitionsmenge [mm] \IR [/mm] und der Eigenschaft f'(x)=f(x) für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Zeigen Sie, dass der Quotient [mm] f(x)/e^x [/mm] die Ableitung 0 hat für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Was folgt daraus für [mm] f(x)/e^x [/mm] und schließlich für f(x)? |
Hallo ihr,
ich bin neu hier, Schüler im Mathe LK12 in NRW und hatte eigentlich noch nie wirkliche Probleme bei dem Lösen von Aufgaben. Da in ein paar Tagen aber ein Referat zu einer Aufgabe aus dem Lambacher Schweizer halten muss, und selbst nicht so recht weiter weiß, möchte ich mir doch Hilfe für einen Ansatz einholen! :)
Meines Wissens nach, ist die einzige Funktion, deren Ableitung der Funktion entspricht eine E-Funktion. f(x) müsste demnach ja auch eine E-Funktion sein, um die Aufgabenstellung zu erfüllen.
Beispiel: [mm] f(x)=5*e^x
[/mm]
Dann hätte ich ja [mm] (5*e^x)/e^x=5 [/mm] f'(5) wäre 0, also die Aufgabengrundlage erfüllt. Allerdings fehlt mir dann doch der Ansatz, wie ich die Behauptung allgemeingültig beweisen kann. An der Stelle wäre ich für Tipps dankbar! :)
Liebe Grüße,
Freddie
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Huhu,
letztlich steht doch die genaue Anleitung in der Aufgabe drin:
Du hast eine Funktion, für die gilt $f'(x)=f(x)$
Nun hast du als Tip die Ableitung der Funktion
$g(x) = [mm] \bruch{f(x)}{e^x}$
[/mm]
zu untersuchen.
Was ist denn $g'(x)$ Was folgt daraus für g(x) ?
Nun noch einmal die Definition von g(x) benutzen, nach f umstellen, fertig.
MFG,
Gono.
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Hallo Gono,
erstmal danke für die schnelle Antwort.
Wenn ich g(x) mit Hilfe der Quotientenregel ableiten würde, hätte ich ja:
[mm] (f'(x)*e^x-f(x)*e^x)/e^{2x} [/mm] Ausgeklammert [mm] e^x*(f'(x)-f(x))/e^{2x}
[/mm]
Wenn f'(x) jetzt gleich f(x) ist, geht die Differenz ja gegen Null, ergo auch der gesamte Zähler und somit auch der Quotient. Würde das wohl als Beweis, dass die Ableitung von g(x)=0 ist, ausreichen?
Durch die Folgen für g(x) und f(x) steige ich allerdings noch nicht ganz durch. Wenn ich g(x) nach f umstelle, erhalte ich [mm] g(x)*e^x=f(x), [/mm] was in meiner "beschränkten Sicht als LK Schüler :D" nicht wirklich weiter hilft?
LG und vielen Dank schonmal,
Freddie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Di 08.02.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
eine bitte Vorweg: Wenn du eine neue Frage hast, stell sie bitte auch als Frage und nicht als Mitteilung.
Nun zum Text 
> Wenn f'(x) jetzt gleich f(x) ist, geht die Differenz ja gegen Null
Die Differenz "geht" nicht gegen Null, sondern IST Null. Wir betrachten hier keine Grenzwerte.
> Würde das wohl als Beweis, dass die Ableitung von g(x)=0 ist, ausreichen?
Wieso sollte es nicht ausreichen? Du hast es doch eben nachgerechnet.
> Durch die Folgen für g(x) und f(x) steige ich allerdings
> noch nicht ganz durch. Wenn ich g(x) nach f umstelle,
> erhalte ich [mm]g(x)*e^x=f(x),[/mm] was in meiner "beschränkten
> Sicht als LK Schüler :D" nicht wirklich weiter hilft?
Stimmt, denn du hast eine wichtige Folgerung vergessen
Halten wir fest:
Es gilt [mm]g(x)*e^x=f(x)[/mm] UND $g'(x)=0$
Wenn die Ableitung von g aber konstant Null ist, was ist g(x) dann gezwungenermaßen für eine Funktion?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Di 08.02.2011 | | Autor: | Freddie93 |
G(x) müsste demnach auch eine Konstante sein. Bzw. eine Funktion "Nullten-Grades". Oder gibt es dafür noch eine treffendere Benennung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Di 08.02.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
genau, g(x) wäre damit eine konstante Funktion, also $g(x) = c$ für ein [mm] $c\in\IR$
[/mm]
Was sagt dir das jetzt über dein f(x) aus?
MFG,
Gono.
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f(x) wäre ja [mm] f(x)=g(x)*e^x
[/mm]
Mit der Produktregel abgeleitet unter Berücksichtigung dass g'(x)=0 is, hätte man für die Ableitung f'(x) auch [mm] f'(x)=g(x)*e^x. [/mm] Demnach müsste f(x) eine Exponentialfunktion sein?!
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Hallo nochmal,
> f(x) wäre ja [mm]f(x)=g(x)*e^x[/mm]
Ja, und du weißt mittlerweile seit 1/2 Tag, dass [mm]g(x)=c=const[/mm] eine konstante Funktion ist, also [mm]f(x)=c\cdot{}e^x[/mm] mit einem [mm] $c\in\IR$
[/mm]
> Mit der Produktregel abgeleitet unter Berücksichtigung
> dass g'(x)=0 is, hätte man für die Ableitung f'(x) auch
> [mm]f'(x)=g(x)*e^x.[/mm] Demnach müsste f(x) eine
> Exponentialfunktion sein?!
Ja jo dat ! Sogar ein (reelles) Vielfaches einer Exponentialfkt.
Der Fall [mm]c=1[/mm] ist im allg. Fall [mm]c=const[/mm], also [mm]c\in\IR[/mm] eingeschlossen.
Gruß
schachuzipus
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Hallo Freddie,
bitte Anschlussfragen als Fragen stellen, nicht als Mitteilungen 
> Hallo Gono,
> erstmal danke für die schnelle Antwort.
>
> Wenn ich g(x) mit Hilfe der Quotientenregel ableiten
> würde, hätte ich ja:
>
> [mm](f'(x)*e^x-f(x)*e^x)/e^{2x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ausgeklammert
> [mm]e^x*(f'(x)-f(x))/e^{2x}[/mm]
Und gekürzt [mm]=\frac{f'(x)-f(x)}{e^x}[/mm]
> Wenn f'(x) jetzt gleich f(x) ist, geht die Differenz ja
> gegen Null,
Sie ist es sogar für alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
> ergo auch der gesamte Zähler und somit auch
> der Quotient. Würde das wohl als Beweis, dass die
> Ableitung von g(x)=0 ist, ausreichen?
Jo!
> Durch die Folgen für g(x) und f(x) steige ich allerdings
> noch nicht ganz durch. Wenn ich g(x) nach f umstelle,
> erhalte ich [mm]g(x)*e^x=f(x),[/mm] was in meiner "beschränkten
> Sicht als LK Schüler :D" nicht wirklich weiter hilft?
Na, du hast berechnet, dass [mm]g'(x)=0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm] ist.
Welche Funktionen haben denn auf ganz [mm]\IR[/mm] verschwindende Ableitungen?
Doch konstante Funktionen, also muss [mm]g(x)=c[/mm] sein mit einem [mm]c\in\IR[/mm]
Was folgt damit dann? ...
>
> LG und vielen Dank schonmal,
> Freddie
Gruß
schachuzipus
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Hallo Schachuzipus,
eine kurze Zwischenfrage: Was ist eine verschwindende Ableitung? Oder gibt es dafür noch eine andere äquivalente Bezeichnung? So haben wir im Unterricht diese Form von Ableitung noch nicht angesprochen und auch Google bietet keine wirklich befriedigenden Antworten.. :(
LG
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Hallo nochmal,
> Hallo Schachuzipus,
>
> eine kurze Zwischenfrage: Was ist eine verschwindende
> Ableitung? Oder gibt es dafür noch eine andere
> äquivalente Bezeichnung?
Damit meine ich (und meint man allg.), dass die Ableitung 0 ist.
Wenn man also sagt, dass die Ableitung von g auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] verschwindet, so heißt das nichts anderes als $g'(x)=0$ für alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
> So haben wir im Unterricht diese
> Form von Ableitung noch nicht angesprochen und auch Google
> bietet keine wirklich befriedigenden Antworten.. :(
> LG
Gruß
schachuzipus
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