Quotienten-/Wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Hanz |
Hallo,
in unserem Analysis Skript habe ich bei den Konvergenzkriterien für Reihen folgendes nicht ganz verstanden: Zuerst wurden das Quotienten- und Wurzelkriterium erklärt und dann folgt eine Bemerkung:
"(a) Das Wurzelkriterium ist schärfer als das Quotientenkriterium: Ist das Quotientenkriterium erfüllt, so ist auch das Wurzelkriterium erfüllt.
(b) Betrachten Sie zum besseren Verständnis die Folge [mm] x_k=2^{-k} [/mm] für gerades k und [mm] x_k=2x_{k-1} [/mm] für ungerades k und die zugehörige Reihe."
Die Folge sieht dann ja so aus [mm] x_k=\begin{cases} 2^{-k}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ 2x_{k-1}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Was ich hierbei nicht verstehe ist:
1) Wie berechne ich die Folgenglieder für ungerades k (ich verstehe nicht genau was mit [mm] 2x_{k-1} [/mm] gemeint ist)
2) Wie wende ich Wurzel- /Quotientenkriterium an, wenn die "Folgenvorschrift" für gerades/ungerades k verschieden sind?
Muss ich dann beide einzeln untersuchen?
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Hallo Hanz,
> Hallo,
> in unserem Analysis Skript habe ich bei den
> Konvergenzkriterien für Reihen folgendes nicht ganz
> verstanden: Zuerst wurden das Quotienten- und
> Wurzelkriterium erklärt und dann folgt eine Bemerkung:
>
> "(a) Das Wurzelkriterium ist schärfer als das
> Quotientenkriterium: Ist das Quotientenkriterium erfüllt,
> so ist auch das Wurzelkriterium erfüllt.
>
> (b) Betrachten Sie zum besseren Verständnis die Folge
> [mm]x_k=2^{-k}[/mm] für gerades k und [mm]x_k=2x_{k-1}[/mm] für ungerades k
> und die zugehörige Reihe."
>
>
> Die Folge sieht dann ja so aus [mm]x_k=\begin{cases} 2^{-k}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ 2x_{k-1}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> Was ich hierbei nicht verstehe ist:
> 1) Wie berechne ich die Folgenglieder für ungerades k (ich
> verstehe nicht genau was mit [mm]2x_{k-1}[/mm] gemeint ist)
Na, oben steht doch die Definition, einfach einsetzen 
Wenn $k$ ungerade ist, so ist $k-1$ gerade, also ist [mm] $2x_{k-1}=2\cdot{}2^{-(k-1)}=2^{2-k}$
[/mm]
Also [mm] $x_k=\begin{cases} 2^{-k}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ 2^{2-k}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
>
> 2) Wie wende ich Wurzel- /Quotientenkriterium an, wenn die
> "Folgenvorschrift" für gerades/ungerades k verschieden
> sind?
> Muss ich dann beide einzeln untersuchen?
Berechne mit dem Wurzelkritierum den [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|x_k|}$
[/mm]
Setze beide Teilfolgen (für $k$ gerade/ungerade) ein und schaue, was herauskommt
Mit dem QK berechne [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{x_{k+1}}{x_k}\right|$
[/mm]
Unterscheide auch hier zwischen $k$ gerade und $k$ ungerade, das vertauscht jeweils Zähler und Nenner.
Was kommt hier heraus?
LG
schachuzipus
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Hallo,
bei mir haperts noch recht beim umformen. Ich habe diesen Schritt noch nicht so verstanden:
[mm] 2\cdot{}2^{-(k-1)}=2^{2-k}
[/mm]
Welche Umformungsregel wurde hier angewandt?
Kann mir jemand vllt Zwischenschritte dazu nennen oder ein ähnliches Beispiel.
gruß,
herkulesamstart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Hanz |
So, ich hab mich mal dran getraut <.<
WK für gerades k:
$ [mm] \limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{2^{-k}} [/mm] $ = [mm] 2^{-1} [/mm] = 0,5
WK für ungerades k:
$ [mm] \limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{2^{2-k}} [/mm] $ = [mm] 2^{2-1} [/mm] = [mm] 2^{1} [/mm] = 2
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QK für gerades k:
$ [mm] \lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{-k+1}}{2^{-k}}\right| [/mm] $ = 2
QK für ungerades k:
$ [mm] \lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{2-k+1}}{2^{2-k}}\right| [/mm] $ = $ [mm] \lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{3-k}}{2^{2-k}}\right| [/mm] $ = 2
Nun habe ich für ungerades k jeweils den gleichen Grenzwert raus, aber für gerades k einen anderen. Ist das so richtig, oder hab ich mich verrechnet?
Muss ich beim QK die Brüche weiter umformen oder geht das so wie ich es geschrieben habe?
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Hallo nochmal,
> So, ich hab mich mal dran getraut <.<
>
> WK für gerades k:
>
> [mm]\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{2^{-k}}[/mm] = [mm]2^{-1}[/mm] = 0,5 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> WK für ungerades k:
>
> [mm]\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{2^{2-k}}[/mm] = [mm]2^{2-1}[/mm] =
> [mm]2^{1}[/mm] = 2 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Dann wäre der [mm] $\limsup$ [/mm] ja 2 und die Reihe damit divergent, das wäre dann ja ein blödes Bsp.
Du hast die Wurzel-/Potenzgesetze "sträflich" missachtet beim Ziehen der k-ten Wurzel
Es ist [mm] $\sqrt[k]{2^{2-k}}=\sqrt[k]{2^{2}\cdot{}2^{-k}}=\sqrt[k]{2}\cdot{}\sqrt[k]{2^{-k}}$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $k\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $1\cdot{}2^{-1}=0,5$
[/mm]
Damit ist der [mm] $\limsup$ [/mm] für beide Teilfolgen <1, also ist die Reihe konvergent
>
> -------------------------------------------------------------------------------------------
>
> QK für gerades k:
>
> [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{-k+1}}{2^{-k}}\right|[/mm]
> = 2
>
> QK für ungerades k:
Dann ist k+1 gerade, wie sieht dann hier [mm] $\frac{x_{k+1}}{x_k}$ [/mm] aus?
>
> [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{2-k+1}}{2^{2-k}}\right|[/mm]
Der Zähler ist falsch!
> =
> [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{3-k}}{2^{2-k}}\right|[/mm]
> = 2
Schaue dir nochmal genau an, wie hier in diesem Falle [mm] $\frac{x_{k+1}}{x_k}$ [/mm] aussieht
>
> Nun habe ich für ungerades k jeweils den gleichen Grenzwert
> raus, aber für gerades k einen anderen. Ist das so richtig,
> oder hab ich mich verrechnet?
Etwas ...
>
> Muss ich beim QK die Brüche weiter umformen oder geht das
> so wie ich es geschrieben habe?
Rechne nochmal genau nach und ziehe deine Schlüsse!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 So 04.01.2009 | | Autor: | Hanz |
> Es ist
> [mm]\sqrt[k]{2^{2-k}}=\sqrt[k]{2^{2}\cdot{}2^{-k}}=\underbrace{\sqrt[k]{2}}\cdot{}\sqrt[k]{2^{-k}}[/mm]
>
> Und das strebt für [mm]k\to\infty[/mm] gegen [mm]1\cdot{}2^{-1}=0,5[/mm]
Ist es richtig, dass es hier [mm] \sqrt[k]{2} [/mm] und nicht [mm] \sqrt[k]{2²} [/mm] heißt?
> -------------------------------------------------------------------------------------------
> > QK für ungerades k:
>
> Dann ist k+1 gerade, wie sieht dann hier
> [mm]\frac{x_{k+1}}{x_k}[/mm] aus?
>
> >
> [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{2-k+1}}{2^{2-k}}\right|[/mm]
>
> Der Zähler ist falsch!
>
> > =
> >
> [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{3-k}}{2^{2-k}}\right|[/mm]
> > = 2
>
> Schaue dir nochmal genau an, wie hier in diesem Falle
> [mm]\frac{x_{k+1}}{x_k}[/mm] aussieht
Ist also k+1 wieder gerade mussich dann den Ausdruck für gerades k benutzen, also [mm] 2^{-k}, [/mm] dann ist es doch aber identisch mit dem oberen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 So 04.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
im ersten Punkt hast du recht, da muss [mm] 2^2 [/mm] unter die Wurzel, ändert aber sonst nichts.
zu2. zweiaufeinanderfolgende Zahlen ist [mm] x_k [/mm] gerade ist [mm] x_{k+1} [/mm] ungerade. es gibt keine 2 aufeinanderfolgende gerade Zahlen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 So 04.01.2009 | | Autor: | Hanz |
Und wie wendet man dann das QK für ungerades k an? <.<
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 So 04.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst das QK NICHT für ungerade k anwenden, da das QK zwei aufeinanderfolgende Koeff. braucht. also entweder g/u oder u/g
die musst du beide betrachten.
Gruss leduart
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Potenzgesetze