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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:14 Do 05.11.2009 | | Autor: | phyma |
| Aufgabe | | x*a [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow x*a_{n} \not= [/mm] 0 für fast alle n [mm] \in \IN [/mm] |
[mm] a_{n} [/mm] sei eine konvergente Folge mit Limes a und x [mm] \in \IR. [/mm] Wie kann ich dann möglichst einfach beweisen, dass x*a [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow x*a_{n} \not= [/mm] 0 für fast alle n [mm] \in \IN [/mm] ? Mithilfe einer Teilfolge?
Vielen Dank!
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. )
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Hiho,
nimm an [mm] $xa_n [/mm] = 0$ für fast alle n, was bedeutet das dann für $x*a$?
Was Schlußfolgerst du daraus?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Do 05.11.2009 | | Autor: | phyma |
Hallo,
dann ist x*a=0, oder?
Kann ich sagen, dass aus [mm] x*a\not=0 [/mm] folgt, dass [mm] x*a_n\not=0 [/mm] für fast alle [mm] n\in\IN? [/mm] - Bzw. ist das die Antwort?
Danke
EDIT: Naja, das ist ja das, was ich eigentlich zeigen möchte... *omg* Kann ich sagen, dass aus [mm] x*a\not=0 [/mm] folgt: [mm] \exists (a_{n_{k}})_{k\in\IN} [/mm] mit [mm] a_{n_{k}}\not=0 \forall k\in\IN \Rightarrow a_n\not=0 [/mm] für fast alle [mm] n\in\IN? [/mm] Sorry und Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Do 05.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst schon genauer formulieren. also ne Teilfolge nehmen [mm] x*a_k [/mm] wo die [mm] a_k [/mm] aus fast allen sind, usw.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Do 05.11.2009 | | Autor: | phyma |
Meinst du so in der Art, was ich gerade in obigem Post geschrieben habe?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Do 05.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würde das deutlicher a) mit [mm] x*a_n [/mm] machen (da x ja ne feste Zahl ) und mit [mm] \epsilon [/mm] und [mm] N(\epsilon) [/mm] statt mit Worten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:01 Do 05.11.2009 | | Autor: | phyma |
Mmh, ok... Das hatte ich vergessen mit dem x ... Ich probier es mal mit den epsilon...
Aus [mm] x*a\not=0 [/mm] folgt:
[mm] \exists (x*a_{n_{k}})_{k\in\IN} [/mm] mit
[mm] \forall \epsilon>0 \exists N(\epsilon)\in\IN \forall n\geN(\epsilon): |x*a_{n_{k}}-x*a|<\epsilon [/mm] (naja, das gilt ja auf jeden Fall, oder?)
Und dann? :( Oder meintest du etwas anderes?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:44 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Aus $xa [mm] \not=0$ [/mm] folgt $x [mm] \not=0$ [/mm] und $a [mm] \not=0$, [/mm] also $|a| >0$
Wegen [mm] $|a_n| \to [/mm] |a|$ folgt (mit [mm] \varepsilon [/mm] := [mm] \bruch{|a|}{2})
[/mm]
[mm] $|a_n| [/mm] > [mm] |a|-\varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{|a|}{2} [/mm] > 0$ für fast alle n,
also [mm] $a_n \not=0$ [/mm] für fast alle n. Damit auch : [mm] $xa_n \not= [/mm] 0$ für fast alle n.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:33 Do 05.11.2009 | | Autor: | phyma |
Aso, ok... Jetzt ist es mir klar, wie das gemeint war!
Ich könnte jetzt auch noch folgendes machen, oder? (Oder ist das dann nicht mehr so schön/unnötig?):
[mm] $|a_n [/mm] - a| > [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{|a|}{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow |a_n| [/mm] > [mm] |a|-\varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{|a|}{2} [/mm] > 0$ für alle [mm] $n\geN(\varepsilon)$ [/mm] mit [mm] $N(\varepsilon)\in\IN$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow a_N(\varepsilon) \not=0 \forall N(\varepsilon)$. $\Rightarrow x*a_N(\varepsilon)\not=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x*a_n [/mm] für fast alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Vielen Dank an alle!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:52 Do 05.11.2009 | | Autor: | Adamantan |
Hallo,
> Aso, ok... Jetzt ist es mir klar, wie das gemeint war!
> Ich könnte jetzt auch noch folgendes machen, oder? (Oder
> ist das dann nicht mehr so schön/unnötig?):
> [mm]|a_n - a| > \varepsilon = \bruch{|a|}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow |a_n| > |a|-\varepsilon = \bruch{|a|}{2} > 0[/mm]
wahrscheinlich ist es noch zu früh für mich heute. Ich verstehe nicht, wie du von der ersten auf die zweite Zeile kommst. Könntest du die Rechenschritte einmal aufzeigen?
Danke und Grüße
Adamantan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:54 Do 05.11.2009 | | Autor: | phyma |
Ich habe mich noch auf obigen Beitrag bezogen, wo folgendes gesetzt wurde: [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{|a|}{2}$. [/mm] 
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:58 Do 05.11.2009 | | Autor: | Adamantan |
Hallo,
> Ich habe mich noch auf obigen Beitrag bezogen, wo folgendes
> gesetzt wurde: [mm]\varepsilon = \bruch{|a|}{2}[/mm].
ja, das hatte ich gesehen, ich weiß nur nicht, wie du auf das Minus vor [mm] \varepsilon [/mm] kommst. Also deine Betragsumformung kann ich nicht nachvollziehen.
Grüße
Adamantan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Do 05.11.2009 | | Autor: | phyma |
Ich muss zugeben, ich auch nicht....
Außerdem müsste es doch eigentlich heißen: $ [mm] |a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{|a|}{2} [/mm] $ für alle [mm] $n\geN(\varepsilon)$ [/mm] mit [mm] $N(\varepsilon)\in\IN$
[/mm]
Oder?
Jetzt gilt doch [mm] $|a_n|>\bruch{|a|}{2}$ [/mm] (oder [mm] $\ge$?) [/mm] mit [mm] $\varepsilon= \bruch{|a|}{2}$ [/mm] - muss ich doch bekommen, damit mein Beweis klappt, oder? Aber der Zwischenschritt... Ich frage mich gerade selbst...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Do 05.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Schau Dir mal meine Antwort an, dass sollte auch diese Frage klären.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Do 05.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Aso, ok... Jetzt ist es mir klar, wie das gemeint war!
> Ich könnte jetzt auch noch folgendes machen, oder? (Oder
> ist das dann nicht mehr so schön/unnötig?):
> [mm]|a_n - a| > \varepsilon = \bruch{|a|}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow |a_n| > |a|-\varepsilon = \bruch{|a|}{2} > 0[/mm]
> für alle [mm]n\geN(\varepsilon)[/mm] mit [mm]N(\varepsilon)\in\IN[/mm].
> [mm]\Rightarrow a_N(\varepsilon) \not=0 \forall N(\varepsilon)[/mm].
> [mm]\Rightarrow x*a_N(\varepsilon)\not=0[/mm]
> [mm]$\Rightarrow x*a_n[/mm]
> für fast alle [mm]$n\in\IN$.[/mm]
>
> Vielen Dank an alle!
Irgendwie ist dass alles etwas konfus, was Du Dir dort zusammen geschrieben hast. Fred hast Dir schon eine sehr schöne Lösung geliefert. Falls Du die Definition der "Konvergenz" verwenden möchtest, so sollte Dir meine Lösung weiterhelfen. Zunächst eine saubere Formulierung Deiner Aufgabe:
Aufgabe: Sei [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine gegen $a$ konvergente Folge (in irgendeinem metrischen Raum X). Zeige (für beliebiges $x$):
[mm] $x\cdot a\neq [/mm] 0$ [mm] $\Longrightarrow$ $x\cdot a_n\neq [/mm] 0$ für fast alle (d.h. für unendlich viele) $n$
Lösung: Zunächst kannst Du [mm] $x\neq [/mm] 0$ fordern (denn im Falle $x=0$ gilt [mm] $x\cdot [/mm] a=0$ und Deine Voraussetzungen sind nicht erfüllt). Da [mm] $x\neq [/mm] 0$ ist, können wir durch $x$ teilen und erhalten
[mm] $x\cdot a\neq [/mm] 0$ [mm] $\Longrightarrow$ $a\neq [/mm] 0$
Da die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen $a$ konvergiert, gilt (nach der Definition einer konvergenten Zahlenfolge)
[mm] $\forall\,\varepsilon>0\;\exists\,N=N(\varepsilon)\in\IN\;\forall\,n\geqslant [/mm] N:$ [mm] $\left|a_n-a\right|\leqslant\varepsilon$
[/mm]
Daraus erhalten wir (mit Verwendung der Dreiecksungleichung und der Eigenschaft [mm] $y\leqslant\left|y\right|$)
[/mm]
[mm] $\left|a\right|-\left|a_n\right|\leqslant\left|\left|a\right|-\left|a_n\right|\right|\leqslant\left|a_n-a\right|\leqslant\varepsilon\;\;\forall\,n\geqslant [/mm] N$
Nun addiere auf beiden Seiten [mm] $\left|a_n\right|$ [/mm] und subtrahiere [mm] $\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\left|a\right|-\varepsilon\leqslant\left|a_n\right|\;\;\forall\,n\geqslant [/mm] N$
Da die Konvergenz für beliebiges (!!!) [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gilt, betrachten wir nun nur diejenigen [mm] $\varepsilon$ [/mm] mit [mm] $0<\varepsilon<\left|a\right|$ [/mm] (da - wie wir oben bereits gesehen haben - [mm] $a\neq [/mm] 0$ ist, gibt es natürlich solche [mm] $\varepsilon$). [/mm] Wählen wir zum Beispiel [mm] $\varepsilon:=\frac{\left|a\right|}{2}>0$, [/mm] so folgt (wegen [mm] $a\neq [/mm] 0$ ist auch [mm] $\left|a\right|\neq [/mm] 0$ und sogar [mm] $\left|a\right|>0$)
[/mm]
[mm] $0<\frac{\left|a\right|}{2}=\left|a\right|-\frac{\left|a\right|}{2}\leqslant\left|a_n\right|\;\;\forall\,n\geqslant [/mm] N$
also für fast alle (d.h. für unendlich viele) $n$.
Das war's. Ich hoffe, dass Du meine ausführliche Erläuterung verstehen wirst.
Gruß
Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Do 05.11.2009 | | Autor: | phyma |
Vielen Dank, Denny, für deine Mühe!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Do 05.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Bitte, ich hoffe, dass Du alles verstanden hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:42 Fr 06.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Aso, ok... Jetzt ist es mir klar, wie das gemeint war!
> > Ich könnte jetzt auch noch folgendes machen, oder?
> (Oder
> > ist das dann nicht mehr so schön/unnötig?):
> > [mm]|a_n - a| > \varepsilon = \bruch{|a|}{2}[/mm]
> >
> [mm]\Rightarrow |a_n| > |a|-\varepsilon = \bruch{|a|}{2} > 0[/mm]
> > für alle [mm]n\geN(\varepsilon)[/mm] mit [mm]N(\varepsilon)\in\IN[/mm].
> > [mm]\Rightarrow a_N(\varepsilon) \not=0 \forall N(\varepsilon)[/mm].
> > [mm]\Rightarrow x*a_N(\varepsilon)\not=0[/mm]
> > [mm]$\Rightarrow x*a_n[/mm]
> > für fast alle [mm]$n\in\IN$.[/mm]
> >
> > Vielen Dank an alle!
>
> Irgendwie ist dass alles etwas konfus, was Du Dir dort
> zusammen geschrieben hast. Fred hast Dir schon eine sehr
> schöne Lösung geliefert. Falls Du die Definition der
> "Konvergenz" verwenden möchtest, so sollte Dir meine
> Lösung weiterhelfen. Zunächst eine saubere Formulierung
> Deiner Aufgabe:
>
> Aufgabe: Sei [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] eine gegen [mm]a[/mm] konvergente Folge
> (in irgendeinem metrischen Raum X).
Vorsicht !!
was ist denn [mm] $x*a_n$ [/mm] (s.u.) in einem metrrischen Raum ??
und was ist [mm] $a_n-a$ [/mm] (s. noch weiter unten) in einem metrrischen Raum ??
FRED
> Zeige (für beliebiges
> [mm]x[/mm]):
> [mm]x\cdot a\neq 0[/mm] [mm]\Longrightarrow[/mm] [mm]x\cdot a_n\neq 0[/mm] für
> fast alle (d.h. für unendlich viele) [mm]n[/mm]
>
> Lösung: Zunächst kannst Du [mm]x\neq 0[/mm] fordern (denn im Falle
> [mm]x=0[/mm] gilt [mm]x\cdot a=0[/mm] und Deine Voraussetzungen sind nicht
> erfüllt). Da [mm]x\neq 0[/mm] ist, können wir durch [mm]x[/mm] teilen und
> erhalten
> [mm]x\cdot a\neq 0[/mm] [mm]\Longrightarrow[/mm] [mm]a\neq 0[/mm]
> Da die Folge
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] gegen [mm]a[/mm] konvergiert, gilt (nach der
> Definition einer konvergenten Zahlenfolge)
>
> [mm]\forall\,\varepsilon>0\;\exists\,N=N(\varepsilon)\in\IN\;\forall\,n\geqslant N:[/mm]
> [mm]\left|a_n-a\right|\leqslant\varepsilon[/mm]
> Daraus erhalten wir (mit Verwendung der
> Dreiecksungleichung und der Eigenschaft
> [mm]y\leqslant\left|y\right|[/mm])
>
> [mm]\left|a\right|-\left|a_n\right|\leqslant\left|\left|a\right|-\left|a_n\right|\right|\leqslant\left|a_n-a\right|\leqslant\varepsilon\;\;\forall\,n\geqslant N[/mm]
>
> Nun addiere auf beiden Seiten [mm]\left|a_n\right|[/mm] und
> subtrahiere [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\left|a\right|-\varepsilon\leqslant\left|a_n\right|\;\;\forall\,n\geqslant N[/mm]
>
> Da die Konvergenz für beliebiges (!!!) [mm]\varepsilon>0[/mm] gilt,
> betrachten wir nun nur diejenigen [mm]\varepsilon[/mm] mit
> [mm]0<\varepsilon<\left|a\right|[/mm] (da - wie wir oben bereits
> gesehen haben - [mm]a\neq 0[/mm] ist, gibt es natürlich solche
> [mm]\varepsilon[/mm]). Wählen wir zum Beispiel
> [mm]\varepsilon:=\frac{\left|a\right|}{2}>0[/mm], so folgt (wegen
> [mm]a\neq 0[/mm] ist auch [mm]\left|a\right|\neq 0[/mm] und sogar
> [mm]\left|a\right|>0[/mm])
>
> [mm]0<\frac{\left|a\right|}{2}=\left|a\right|-\frac{\left|a\right|}{2}\leqslant\left|a_n\right|\;\;\forall\,n\geqslant N[/mm]
>
> also für fast alle (d.h. für unendlich viele) [mm]n[/mm].
>
> Das war's. Ich hoffe, dass Du meine ausführliche
> Erläuterung verstehen wirst.
>
> Gruß
> Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Okay. Dann sollten wir besser von "reellen" Zahlenfolgen sprechen. $x$ ist in diesem Zusammenhang dann auch eine reelle Zahl. Dann sollten alle Missverstaendnisse ausgeschlossen sein.
Danke fuer den Hinweis!
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