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Forum "Folgen und Reihen" - Quotientenkriterium
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Quotientenkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Di 24.07.2007
Autor: phil-abi05

Aufgabe
Siehe Beschreibung

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,

und zwar habe ich eine Frage zum Quotientenkriterium  im Hinblick auf die Konvergenz. Das Beispiel lautet:

a = [mm] \bruch{k+1}{2^{k}} [/mm]

Bei dem QK muss man ja [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} [/mm] berechnen. Meine Frage ist jetzt, wie komme ich oben vom Beispiel auf:

[mm] \bruch{(k+2)*2^{k}}{2^{k+1}*(k+1)} [/mm]

Ich denke, dass ist wahrscheinlich einfache Bruchrechnung. Komme aber einfach nicht dahinter.

        
Bezug
Quotientenkriterium: Umformung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Di 24.07.2007
Autor: Roadrunner

Hallo Phil!


Schreibe Deinen Ausdruck in zwei Brüche:

[mm] $\bruch{(k+2)*2^{k}}{2^{k+1}*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k+2}{k+1}*\bruch{2^k}{2^{k+1}} [/mm] \ = \ ...$


Gegen welchen Wert strebt der 1. Bruch? Und beim 2. Bruch kannst Du noch gemäß MBPotenzgesetz umformen und kürzen; denn es gilt ja: [mm] $2^{k+1} [/mm] \ = \ [mm] 2^k*2^1 [/mm] \ = \ [mm] 2*2^k$ [/mm] .


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Quotientenkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:43 Di 24.07.2007
Autor: phil-abi05

Hallo,

das ist mir schon klar. Mir geht es mehr darum, wie ich überhaupt erst dahin komme, also vom gegebenen Bruch zum umgestellten Bruch im QK. Ich dank dir schon mal.

Bezug
                        
Bezug
Quotientenkriterium: Bruchrechnung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:52 Di 24.07.2007
Autor: Roadrunner

Hallo Phil!


Schreiben wir uns den Ausdruck [mm] $\bruch{a_{k+1}}{a_k}$ [/mm] mal auf. Anschließend benutzen wir die alte Bruchrechenweisheit "Man dividiert durch einen Bruch indem man mit dem Kehrwert multipliziert" verwenden:

[mm] $\bruch{a_{k+1}}{a_k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{k+1+1}{2^{k+1}}}{\bruch{k+1}{2^k}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{k+2}{2^{k+1}}}{\bruch{k+1}{2^k}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k+2}{2^{k+1}}*\bruch{2^k}{k+1} [/mm] \ = \ ...$


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Quotientenkriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:58 Di 24.07.2007
Autor: phil-abi05

Ok, dank dir. Da stand ich eben aber lange aufm Schlauch.

Bezug
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