Quotientenkriterium < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Fr 09.12.2011 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | http://www.myimg.de/?img=konvergenz003e8.jpg |
Es geht mir nur um den zweiten Teil, Konvergenz habe ich schon gezeigt, nur wieso kann ich dafür kein Quotientenkriterium anwenden? Fällt mir leider nicht ein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Fr 09.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
welche 2 aufeinanderfolgenden [mm] a_k [/mm] willst du denn als Quotient nehmen?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Fr 09.12.2011 | | Autor: | hubbel |
[mm] |\left( \bruch{\left( \bruch{1}{2^{k+2}} \right)}{\left( \bruch{1}{2^{k+1}} \right)} \right)|=|\left( \bruch{2^{k+1}}{2^{k+2}} \right)|
[/mm]
Achso, verstehe, damit darf man das Quotientenkriterium nicht anwenden, da oben das Größere stehen muss, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Fr 09.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast weder [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_k} [/mm] noch [mm] \bruch{a_{k}}{a_{k+}}
[/mm]
hingeschrieben. sieh dir die Def, deiner a:k nochmal an!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Fr 09.12.2011 | | Autor: | hubbel |
[mm] \left( \bruch{1}{2^{k+1}} \right)=a_k
[/mm]
Bzw.
[mm] \left( \bruch{1}{2^{k-1}} \right)=a_k
[/mm]
Und:
[mm] \left( \bruch{1}{2^{k+2}} \right)=a_{k+1}
[/mm]
Bzw.
[mm] \left( \bruch{1}{2^{k}} \right)=a_{k+1}
[/mm]
Hatte ich doch im Bruch stehen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Fr 09.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst nicht dasselbe k für alles nehmen.
a) fang mit einem geraden k an, nimm dann k+1 bilde den quotienten.
dann fang mit nem ungeraden k an, nimm den nächsten, bilde wieder den Quotientn. wenn k gerade ist ist k+1 ungerade, du kannst also nicht einfach 2 aufeinanderfolgende bilden, in dem du einfach k durch k+1 ersetzt.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Fr 09.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich glaube wir reden aneinader vorbei.
Das ist das Quotientenkriterium:
[mm] |\left( \bruch{z_{k+1}}{z_k} \right)|\le [/mm] q
Und das habe ich doch korrekt benutzt mit:
[mm] |\left( \bruch{\left( \bruch{1}{2^{k+2}} \right)}{\left( \bruch{1}{2^{k+1}} \right)} \right)|=|\left( \bruch{2^{k+1}}{2^{k+2}} \right)|
[/mm]
Im Zähler steht [mm] z_{k+1} [/mm] und im Nenner steht [mm] z_k.
[/mm]
Analog dazu müsste ich das ganze noch für natürlich noch für die geraden k machen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Fr 09.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwo stand:
[mm] a_k=1/2^{k-1} [/mm] falls k gerade, [mm] 1/2^{k+1} [/mm] für k ungerade.
Fallunterscheidung:
I. nimm k ungerade: dann ist [mm] z_k=1/2^{k+1} [/mm] das nächste k ist gerade, also ist dann [mm] z_{k+1}=1/2^{k+1-1}
[/mm]
II. nimm k gerade; dann ist [mm] z_k=1/2^{k-1} [/mm] das nächst k ist ungerade, also ist [mm] z_{k+1}=1/2^{k+2}
[/mm]
bilde jeweils die quotienten! fällt dir was auf?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Fr 09.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Daran habe ich gar nicht gedacht, wenn das k gerade ist, dann ist das nächste ja logischerweise ungerade, sorry.
Was fällt mir auf? Also ich kann das nicht benutzen, da das Quotientenkriterium nur gilt, wenn es 2 aufeinanderfolge Glieder einer Reihe sind. Und das ist ja nicht erfüllt, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 Sa 10.12.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
und warum kannst du das nicht?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Sa 10.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich hätte einfach mit dem Quotientenkriterium argumentiert, dort ist ja festgeschrieben, dass es 2 aufeinanderfolgende Glieder sein müssen, das geht hier aber nicht, da wir sozusagen 2 Reihen betrachten in einem Kriterium, einmal für ungerade und gerade.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Sa 10.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich kannst du 2 aufeinanderfolgende dividieren! Aber es kommt für [mm] a_k [/mm] gerade und [mm] a_k [/mm] ungerade was anderes raus!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 10.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Wieso kommt da was anderes heraus, ich könnte doch einfach, folgendes berechnen:
[mm] |1/2^{k+2}/1/2^{k-1}|\le [/mm] q
Ich verstehe die Begründung einfach nicht, sorry...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Sa 10.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Wieso kommt da was anderes heraus, ich könnte doch
> einfach, folgendes berechnen:
>
> [mm]|1/2^{k+2}/1/2^{k-1}|\le[/mm] q
>
> Ich verstehe die Begründung einfach nicht, sorry...
Dann mache es doch mal mit konkreten Zahlenwerten.
Berechne den Quotienten [mm] $\bruch{a_8}{a_7}$ [/mm] und den Quotienten [mm] $\bruch{a_9}{a_8}$ [/mm] und vergleiche deine Ergebnisse!
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Sa 10.12.2011 | | Autor: | hubbel |
[mm] a_8/a_7=1/2^7/1/2^8=2^8/2^7=2
[/mm]
[mm] a_9/a_8=1/2^{10}/1/2^7=2^7/2^{10}=1/8
[/mm]
Verstehe, das geht nicht, weil q ja zwischen 0 und 1 liegen muss, das gilt ja schonmal für das erste nicht. Und das kommt nur Zustande, weil wir bei Quotientenkriterium zwei aufeinanderfolgende Glieder benutzen müssen und deswegen funktioniert das nicht mit dem QK. Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Sa 10.12.2011 | | Autor: | abakus |
> [mm]a_8/a_7=1/2^7/1/2^8=2^8/2^7=2[/mm]
>
> [mm]a_9/a_8=1/2^{10}/1/2^7=2^7/2^{10}=1/8[/mm]
>
> Verstehe, das geht nicht, weil q ja zwischen 0 und 1 liegen
> muss, das gilt ja schonmal für das erste nicht. Und das
> kommt nur Zustande, weil wir bei Quotientenkriterium zwei
> aufeinanderfolgende Glieder benutzen müssen und deswegen
> funktioniert das nicht mit dem QK. Richtig?
Richtig.
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