Quotientenräume < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei U ein Untervektorraum von V und f: V -> V eine lineare Abbildung mit
f(U) Teilmenge U. Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung
g: V/U -> V/U gibt mit der Eigenschaft µ ° f = g ° µ. Dabei ist µ: V -> V/U die kanonische lineare Abbildung. Tipp: Man benutzt Satz 2.2.7 aus dem Buch Gerd Fischer (lineare Algebra I). |
Hi erstmal und ich hoffe jemand kann mir helfen..
Also ich bin neu hier also bitte nicht böse sein wenn ich was falsch mache..
Zur Aufgabe:
Ich habe bereits diese eine lineare Abbildung gefunden muss aber noch zeigen, dass U eine Teilmenge von Kern f ist... wie soll ich das denn machen? :S
ich hoffe jemand kann mir helfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:43 So 22.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei U ein Untervektorraum von V und f: V -> V eine lineare
> Abbildung mit
> f(U) Teilmenge U. Zeigen Sie, dass es genau eine lineare
> Abbildung
> g: V/U -> V/U gibt mit der Eigenschaft µ ° f = g ° µ.
> Dabei ist µ: V -> V/U die kanonische lineare Abbildung.
> Tipp: Man benutzt Satz 2.2.7 aus dem Buch Gerd Fischer
> (lineare Algebra I).
> Hi erstmal und ich hoffe jemand kann mir helfen..
> Also ich bin neu hier also bitte nicht böse sein wenn ich
> was falsch mache..
>
> Zur Aufgabe:
>
> Ich habe bereits diese eine lineare Abbildung gefunden muss
> aber noch zeigen, dass U eine Teilmenge von Kern f ist...
> wie soll ich das denn machen? :S
das macht irgendwie keinen Sinn. Wenn Du sie gefunden hast, kannst Du entweder schreiben, wie sie konstruktiv entstanden ist, oder Du kannst sie hinschreiben. Dass $U [mm] \subseteq [/mm] kern(f)$ gilt heißt nichts anderes, als das zu beweisen ist
$$x [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] kern(f)$$
und nach Definition von [mm] $kern(f)\,$ [/mm] heißt das, dass zu zeigen ist
$$x [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=0$$
mit [mm] $0=0_V$: [/mm] der Nullvektor aus [mm] $V\,.$ [/mm]
> ich hoffe jemand kann mir helfen
Wenn Du diese Abbildung wirklich "gefunden" hast (das würde die Existenz eines [mm] $g\,$ [/mm] wie gewünscht begründen!), bleibt aber noch zu zeigen, dass sie eindeutig ist. D.h. wenn Du ein [mm] $g_1$ [/mm] hast, was die gleichen Eigenschaften hat wie Dein gefundenes [mm] $g\,,$ [/mm] dann musst Du zeigen, dass dann schon [mm] $g=g_1$ [/mm] folgt.
P.S.:
Wo steht in der Aufgabe eigentlich die Forderung $U [mm] \subseteq [/mm] kern(f)$?
P.P.S.:
In der Aufgabe steht was, was komplett was anderes ist: Es soll $U [mm] \subseteq [/mm] f(U)$ sein, d.h.
[mm] $$\forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] \exists \tilde{u} \in [/mm] U [mm] \text{ mit }f(\tilde{u})=u\,.$$
[/mm]
Das ist aber EINE VORAUSSETZUNG AN [mm] $f\,$! [/mm] Man betrachtet dort auch nicht nur ein [mm] $f\,,$ [/mm] sondern eigentlich alle [mm] $f\,$'s, [/mm] die die entsprechenden Voraussetzungen erfüllen, also die geforderten Eigenschaften haben, die in der Voraussetzung stehen!
Anders gesagt:
Wenn man in einer Aufgabe z.B. schreibt:
"Sei $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine Funktion mit $f(-x)=f(x)$ und [mm] $f(1)=1\,.$ [/mm] Zeigen Sie: Dann gilt schon [mm] $f(-1)=1\,$!"
[/mm]
(Das ist banal!)
so kann man die gleiche Aufgabe auch formulieren als:
"Zeigen Sie, dass für jede Funktion $f: [mm] \IR \to \IR\,,$ [/mm] die die Eigenschaften $f(-x)=f(x)$ und $f(1)=1$ hat, auch $f(-1)=1$ gilt!"
Beides beweist man so, dass man "irgendein [mm] $f\,$ [/mm] hernimmt, dass die in der Voraussetzung gewünschten Eigenschaften hat" und dann folgert, dass auch die Behauptung dann folgt.
Dass dieses [mm] $f\,$ [/mm] die Eigenschaften hat, bedeutet dann nichts anderes, als dass Du erstmal nur die Voraussetzungen
* $f: [mm] \IR \to \IR$
[/mm]
* [mm] $f(-x)=f(x)\,$ [/mm] stets
* [mm] $f(1)=1\,.$
[/mm]
benutzt - und dann natürlich alles, was Du damit folgern kannst, sofern es Dir sozusagen was bringt.
Es bringt Dir selten was, zu sagen: Wir betrachten nun [mm] $f(x)=x^n$ [/mm] mit [mm] $n\,$ [/mm] gerade... Dann wirst Du sozusagen "zu konkret" - natürlich erfüllt Dein [mm] $f\,$ [/mm] auch die Eigenschaften in der Voraussetzungen, aber es wird i.a. nicht representativ für alle anderen [mm] $f\,$'s [/mm] stehen, die auch die Voraussetzungen erfüllen. Etwa [mm] $f(x)=|\sin((\pi/2)*x)|$ [/mm] wäre keine Funktion der Art $x [mm] \mapsto x^n$ [/mm] mit geradem [mm] $n\,,$ [/mm] trotzdem ist das eine Funktion [mm] $\IR \to \IR\,,$ [/mm] erfüllt $f(-x)=f(x)$ (stets, d.h. für alle $x [mm] \in \IR$) [/mm] und [mm] $f(-1)=f(1)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:29 So 22.01.2012 | | Autor: | PeterMeier |
Der Satz aus dem Buch von Gerd Fischer den ich benutzt habe setzt für diese Aufgabe voraus, dass U eine Teilmenge von Kern f sein soll... darum denke ich, dass ich zeigen muss U ist Teilmenge Kern f
Gruß
Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 So 22.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Der Satz aus dem Buch von Gerd Fischer den ich benutzt habe
> setzt für diese Aufgabe voraus, dass U eine Teilmenge von
> Kern f sein soll... darum denke ich, dass ich zeigen muss U
> ist Teilmenge Kern f
zitier' den Satz mal bitte - mir liegt das Buch nicht vor, ich bin zu faul, um im Internet (etwa bei google.books) nach dem Satz zu suchen - zumal es ja Deine Aufgabe ist, und ferner habe ich Dir schon gesagt, was $U [mm] \subseteq [/mm] kern(f)$ bedeutet!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:53 So 22.01.2012 | | Autor: | PeterMeier |
Zitat: Gerd Fischer 17. Auflage Satz 2.2.7
"Sei V ein K-Vektorraum und U [mm] \cup [/mm] V ein Untervektorraum. Dann kann man die Menge V/U auf genau eine Weise so zu einem K-Vektorraum machen, daß
die kanonische Abbildung
ó: V -> V/U, v --> v+U,
linear wird. Weiter gilt:
1) ó ist surjektiv
2) Ker ó= U
3) dim V/U = dim V - dim U, falls dim V<"unendlich"
4) Der Quotientenvektorraum V/U hat die folgende universelle Eigenschaft:
Ist F: V -> W eine lineare Abbildung mit U [mm] \cup [/mm] Ker F, so gibt es genau eine lineare Abbildung G: V/U -> W mit F=G°ó. Das kann man in Form eines kommutativen diagramms schreiben:
Weiter ist Ker G = (Ker F)/U.
Man nennt V/U den Quotientenvektorraum von V nach U. Diese Bezeichnung entspricht der Vorstellung, daß man U aus V "herausdividiert", weil U in V/U zur Null wird." (Seite 122f)
Soll ich also nun einfach davon ausgehen, dass U [mm] \cup [/mm] Ker f ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 So 22.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Peter,
stelle Rückfragen bitte nicht als Mitteilungen rein, sondern als Fragen. Das ist in Deinem eigenen Interesse: Eine Mitteilung bedeutet, dass Du nur noch etwas mitteilen möchtest, wobei es für Dich dann auch nicht bedeutend ist, wenn die Frage in der Mitteilung nicht beantwortet wird. Ich denke, dass Du hier auf Deine Rückfrage schon noch eine Antwort bekommen willst!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:37 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zitat: Gerd Fischer 17. Auflage Satz 2.2.7
> "Sei V ein K-Vektorraum und U [mm]\cup[/mm] V ein Untervektorraum.
> Dann kann man die Menge V/U auf genau eine Weise so zu
> einem K-Vektorraum machen, daß
> die kanonische Abbildung
>
> ó: V -> V/U, v --> v+U,
>
> linear wird. Weiter gilt:
>
> 1) ó ist surjektiv
> 2) Ker ó= U
> 3) dim V/U = dim V - dim U, falls dim V<"unendlich"
> 4) Der Quotientenvektorraum V/U hat die folgende
> universelle Eigenschaft:
> Ist F: V -> W eine lineare Abbildung mit U [mm]\cup[/mm] Ker F, so
> gibt es genau eine lineare Abbildung G: V/U -> W mit
> F=G°ó. Das kann man in Form eines kommutativen diagramms
> schreiben:
> Weiter ist Ker G = (Ker F)/U.
>
> Man nennt V/U den Quotientenvektorraum von V nach U. Diese
> Bezeichnung entspricht der Vorstellung, daß man U aus V
> "herausdividiert", weil U in V/U zur Null wird." (Seite
> 122f)
>
> Soll ich also nun einfach davon ausgehen, dass U [mm]\cup[/mm] Ker f
> ist?
Du meinst $U [mm] \subseteq Ker(f)\,.$ [/mm] (Klick' mal auf die Formeln, dann siehst Du, wie man sowas schreibt.) Nein, Du musst natürlich zeigen bzw. begründen, wenn Du einen Satz anwenden willst, dass "das auch geht" - dass also die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind. Wenn das nicht offensichtlich ist, ist das explizit nachzuweisen/nachzurechnen. Wie willst Du den Satz denn genau anwenden?
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
