R-Modul Isomorphismus < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Fr 01.06.2012 | | Autor: | it123 |
| Aufgabe | | Behauptung: Ein Modul M über einem Integritätsbereich R ist genau dann frei, wenn es einen R-Modul-Isomorphismus [mm] R^n=Rx...xR [/mm] -> M gibt. |
"=>"Sei M frei. Dann gibt es also zu jedem m [mm] \in [/mm] M eine eindeutige Darstellung [mm] m=r_1*m_1+...+r_n*m_n [/mm] mit [mm] r_1,...,r_n \in [/mm] R. Dies bedeutet, es gibt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem [mm] r_1,...,r_n. [/mm] Also existiert eine Abbildung f: [mm] R^n->M [/mm] mit [mm] f(r_1,...,r_n):=r_1*m_1+...+r_n*m_n. [/mm] Diese ist surjektiv und injektiv (Erzeugendensystem) und erfüllt die Eigenschaften eines R-Modul-Homomorphismuses: [mm] f((r_1,...,r_n)+(s_1,...,s_n))=f(r_1,...,r_n)+f(s_1,...,s_n) [/mm] ...
"<="Wenn es einen R-Modul-Isomorphismus von [mm] R^n [/mm] nach M gibt, dann ist dieser nach Definition surjektiv und injektiv. Also ein Erzeugendensystem
(die Eigenschaften eines Homomorphismus braucht man bei der Rückrichtung nicht, oder?)
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Sa 02.06.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo it123,
> Behauptung: Ein Modul M über einem Integritätsbereich R
> ist genau dann frei, wenn es einen R-Modul-Isomorphismus
> [mm]R^n=Rx...xR[/mm] -> M gibt.
Das müsste eigentlich "endlich frei" statt "frei" heißen, es sei denn, ihr habt den Begriff "frei" ungewöhnlich definiert...
> "=>"Sei M frei. Dann gibt es also zu jedem m [mm]\in[/mm] M eine
> eindeutige Darstellung [mm]m=r_1*m_1+...+r_n*m_n[/mm] mit
> [mm]r_1,...,r_n \in[/mm] R. Dies bedeutet, es gibt ein linear
> unabhängiges Erzeugendensystem [mm]r_1,...,r_n.[/mm]
"M endlich frei" bedeutet, dass ein linear unabhängiges Erzeugendensystem [mm] $(m_1,\ldots,m_n)$ [/mm] von M existiert.
Ihr habt offensichtlich gezeigt, dass Modul-Elemente [mm] $m_1,\ldots,m_n\in [/mm] M$ genau dann ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von $M$ bilden, wenn jedes Modul-Element [mm] $m\in [/mm] M$ sich eindeutig in der Form [mm] $m=r_1m_1+\ldots+r_nm_n$ [/mm] mit [mm] $r_1,\ldots,r_n\in [/mm] R$ schreiben lässt.
> Also
> existiert eine Abbildung f: [mm]R^n->M[/mm] mit
> [mm]f(r_1,...,r_n):=r_1*m_1+...+r_n*m_n.[/mm]
Diese Abbildung existiert sogar für beliebige [mm] $m_1,\ldots,m_n\in [/mm] M$, unabhängig davon, ob diese ein linear unabhängiges Erzeugendensystem bilden.
> Diese ist surjektiv
> und injektiv
Ja. Warum?
> (Erzeugendensystem)
?
> und erfüllt die
> Eigenschaften eines R-Modul-Homomorphismuses:
> [mm]f((r_1,...,r_n)+(s_1,...,s_n))=f(r_1,...,r_n)+f(s_1,...,s_n)[/mm]
> ...
Ja. Warum?
> "<="Wenn es einen R-Modul-Isomorphismus von [mm]R^n[/mm] nach M
> gibt, dann ist dieser nach Definition surjektiv und
> injektiv.
Ja.
> Also ein Erzeugendensystem
Was bildet ein Erzeugendensystem?
> (die Eigenschaften eines Homomorphismus braucht man bei der
> Rückrichtung nicht, oder?)
Doch.
> Stimmt das so?
Die Idee der Hinrichtung ja, die Rückrichtung nein.
Zur Rückrichtung: Wisst ihr schon, dass Isomorphismen alle "Struktur-Eigenschaften" von "Strukturen" erhalten? Dann ist bei Existenz eines Isomorphismus' von [mm] $R^n$ [/mm] nach $M$ der Modul $M$ genau dann endlich frei, wenn [mm] $R^n$ [/mm] endlich frei ist. Es genügt also zu verifizieren, dass [mm] $R^n$ [/mm] endlich frei ist.
Wenn ihr noch nicht hattet, dass Isomorphismen alle "Struktur-Eigenschaften" erhalten, müsstest du mithilfe eines Isomorphismus' [mm] $f\colon R^n\to [/mm] M$ explizit ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von $M$ konstruieren. Tipp: Betrachte die Bilder $f(t)$ für bestimmte Elemente [mm] $t\in R^n$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Sa 02.06.2012 | | Autor: | it123 |
Die Definition von "frei":
M heißt freier R-Modul, falls es [mm] m_1,...,m_n \in [/mm] M gibt mit der Eigenschaft: jedes m [mm] \in [/mm] M hat eine eindeutige Darstellung [mm] m=r_1*m_1+...+r_n*m_n [/mm] mit [mm] r_1,...,r_n \in [/mm] R.
Wir haben nicht explizit nachgewiesen, dass frei genau die Existenz eines linear unabhängigen Erzeugendensystems ist. (Lediglich als Bemerkung aufgeschrieben).
Aber ist das nach dieser Definition nicht offensichtlich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Sa 02.06.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Die Definition von "frei":
> M heißt freier R-Modul, falls es [mm]m_1,...,m_n \in[/mm] M gibt
> mit der Eigenschaft: jedes m [mm]\in[/mm] M hat eine eindeutige
> Darstellung [mm]m=r_1*m_1+...+r_n*m_n[/mm] mit [mm]r_1,...,r_n \in[/mm] R.
O.K., dann habt ihr wirklich eine ungewöhnliche Definition von frei. "Normalerweise" würde man den hier definierten Begriff mit "endlich frei" bezeichnen.
Und mein erster Beitrag passt nicht ganz zu eurer Definition. Ich war fälschlicherweise davon ausgegangen, ihr hättet den Begriff frei mithilfe der Existenz eines linear unabhängigen Erzeugendensystems definiert.
> Wir haben nicht explizit nachgewiesen, dass frei genau die
> Existenz eines linear unabhängigen Erzeugendensystems ist.
> (Lediglich als Bemerkung aufgeschrieben).
>
> Aber ist das nach dieser Definition nicht offensichtlich?
Vielleicht sieht das mancheiner so. Ich persönlich brauche für eine solche Aussage einen näheren Beweis, um sie einzusehen. Wenn ihr aber diese Bemerkung in der Vorlesung hattet, dürft ihr sie sicherlich auch verwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Sa 02.06.2012 | | Autor: | it123 |
Zu meiner Hinrichtung:
Es gibt eine surjektive, injektive Abbildung [mm] f:R^n->M.
[/mm]
Da M frei ist, hat jedes m [mm] \in [/mm] M eine eindeutige Darstellung [mm] m=r_1*m_1+...+r_n*m_n. [/mm] Also folgt aus [mm] f((r_1,...,r_n))=f((s_1,...,s_n)), [/mm] dass [mm] (r_1,...,r_n)=(s_1,...,s_n) [/mm] gilt. Weiter gilt die Surjektivität, da jedes m [mm] \in [/mm] M eine eindeutige Darstellung hat. Also [mm] f(R^n)=M.
[/mm]
Reicht das als Begründung?
Für den Nachweise der Homomorphie hätte ich einfach die Bedingungen nachgewiesen:
[mm] f((r_1,...,r_n)+(s_1,...,s_n))=f((r_1+s_1+...+r_n+s_n))=(r_1+s_1)m_1+...+(r_n+s_n)m_n=r_1*m_1+s_1*m_1+...+r_n*m_n+s_n*m_n=...=f(r_1,...,r_n)+f(s_1,...,s_n) [/mm] für alle [mm] r_1,...,r_n,s_1,...,s_n \in R^n.
[/mm]
[mm] f(t*(r_1,...,r_n))=f((t*r_1,...,t*r_n))=...=t*f((r_1,...,r_n)) [/mm] mit [mm] r_1,...,r_n \in R^n [/mm] und t [mm] \in [/mm] R.
Ist ja eigentlich analog zu obigen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Sa 02.06.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Zu meiner Hinrichtung:
Das soll eine Ergänzung zum bisherigen sein und keine komplette Version, oder?
> Es gibt eine surjektive, injektive und lineare Abbildung [mm]f:R^n->M.[/mm]
Was zu zeigen wäre.
> Da M frei ist, existieren [mm] $\red{m_1,\ldots,m_n\in M}$, [/mm] so dass hat jedes m [mm]\in[/mm] M eine eindeutige
> Darstellung [mm]m=r_1*m_1+...+r_n*m_n.[/mm] hat.
> Also folgt aus
> [mm]f((r_1,...,r_n))=f((s_1,...,s_n)),[/mm] mit der Eindeutigkeit der Darstellung dieses Elements, dass
> [mm](r_1,...,r_n)=(s_1,...,s_n)[/mm] gilt. Weiter gilt die
> Surjektivität, da jedes m [mm]\in[/mm] M eine eindeutige
> Darstellung hat. Also [mm]f(R^n)=M.[/mm]
>
> Reicht das als Begründung?
Für mich ja.
> Für den Nachweise der Homomorphie hätte ich einfach die
> Bedingungen nachgewiesen:
>
> [mm] $f((r_1,...,r_n)+(s_1,...,s_n))=f((r_1+s_1\blue+...\blue+r_n+s_n))$
[/mm]
Statt der blau markierten Pluszeichen müssten Kommata stehen.
> [mm] $=(r_1+s_1)m_1+...+(r_n+s_n)m_n=r_1*m_1+s_1*m_1+...+r_n*m_n+s_n*m_n=...=f(r_1,...,r_n)+f(s_1,...,s_n)$
[/mm]
> für alle [mm]r_1,...,r_n,s_1,...,s_n \in R^n.[/mm]
>
> [mm]f(t*(r_1,...,r_n))=f((t*r_1,...,t*r_n))=...=t*f((r_1,...,r_n))[/mm]
> mit [mm]r_1,...,r_n \in R^n[/mm] und t [mm]\in[/mm] R.
> Ist ja eigentlich analog zu obigen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Sa 02.06.2012 | | Autor: | it123 |
Und die Rückrichtung:
Wenn es eine bijektive, lineare Abbildung [mm] f:R^n->M [/mm] gibt, dann wird also jedes [mm] r_1,...,r_n [/mm] genau einem m [mm] \in [/mm] M zugeordnet. Also existiert ein linear unabhängiges Erzeugendensystem (nämlich die lineare Abbildung f) von M. Mit der bemerkung, dass frei genau die Existenz eines linear unabhängigen Erzeugendensystems entspricht, folgt: M ist frei.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Sa 02.06.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Und die Rückrichtung:
> Wenn es eine bijektive, lineare Abbildung [mm]f:R^n->M[/mm] gibt,
> dann wird also jedes [mm]r_1,...,r_n[/mm] genau einem m [mm]\in[/mm] M
> zugeordnet. Also existiert ein linear unabhängiges
> Erzeugendensystem (nämlich die lineare Abbildung f) von M.
> Mit der bemerkung, dass frei genau die Existenz eines
> linear unabhängigen Erzeugendensystems entspricht, folgt:
> M ist frei.
Wie fängt bei euch die Definition von linearer Unabhängigkeit bzw. von Erzeugendensystem an? Vermutlich in etwa so:
"Seien [mm] $m_1,\ldots,m_n\in [/mm] M$. Das System [mm] $(m_1,\ldots,m_n)$ [/mm] heißt linear unabhängig / Erzeugendensystem von $M$, wenn..."
Du behauptest nun, die Abbildung f sei ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Die Abbildung f ist aber überhaupt kein System von n Vektoren. Das kann also nicht sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Sa 02.06.2012 | | Autor: | it123 |
Das System [mm] m_1,...,m_n [/mm] heißt linear unabhängig, wenn aus [mm] s_1*m_1+...+s_n*m_n=0 [/mm] notwendigerweise [mm] s_1,...,s_n=0 [/mm] folgt, mit [mm] s_1,...,s_n \in [/mm] R. Der Nullvektor hat also nur eine Darstellung.
Da eine injektive Abbildung f existiert, und f(0,...,0)=0 gilt, ist das System linear unabhängig. Da jedes [mm] r_1,...,r_n \in R^n [/mm] einem m durch die Abbildung f zugeordnet wird und Surjektivität gilt, ist [mm] m_1,...,m_n [/mm] ein Erzeugendensystem.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Sa 02.06.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Da eine injektive Abbildung f existiert, und f(0,...,0)=0
> gilt, ist das System linear unabhängig.
Welches System denn? Noch hast du noch keine Modul-Elemente [mm] $m_1,\ldots,m_n$ [/mm] angegeben.
> Da jedes
> [mm]r_1,...,r_n \in R^n[/mm] einem m durch die Abbildung f
> zugeordnet wird und Surjektivität gilt, ist [mm]m_1,...,m_n[/mm]
> ein Erzeugendensystem.
Gleicher Einwand: Welche Modul-Elemente sollen [mm] $m_1,\ldots,m_n$ [/mm] überhaupt sein?
Ich erinnere an meinem Tipp aus meiner ersten Antwort: Wähle die [mm] $m_i$ [/mm] als Bilder unter f von geeigneten Elementen [mm] $r\in R^n$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Sa 02.06.2012 | | Autor: | it123 |
Ist es dann hilfreich die Abbildung f so zu definieren?
[mm] f(1,0,...,0)=m_1
[/mm]
[mm] f(0,1,0,...,0)=m_2
[/mm]
[mm] f(0,...,0,1)=m_n
[/mm]
Dann wäre f(0,...,0)=0, wegen der Linearität der Abbildung f.
Das würde mit der Injektivität der Abbildung f die lineare Unabhängigkeit des Systems [mm] m_1,...,m_n [/mm] bedeuten.
Mit der Surjektivität von f folgt dann, dass man jedes m [mm] \in [/mm] M darstellen kann.
Aber warum kann ich jetzt hier eine Definition der Abbildung f vornehmen? Es heißt doch nur, dass "wenn es eine bijektive Abbildung gibt". Das bedeutet ja nicht, dass es dann die oben defnierte Abbildung sein muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Sa 02.06.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ist es dann hilfreich die Abbildung f so zu definieren?
> [mm]f(1,0,...,0)=m_1[/mm]
> [mm]f(0,1,0,...,0)=m_2[/mm]
> [mm]f(0,...,0,1)=m_n[/mm]
Nicht die Abbildung f, aber die [mm] $m_1,\ldots,m_n$ [/mm] solltest du genau so mithilfe der gegebenen Abbildung f definieren.
> Aber warum kann ich jetzt hier eine Definition der
> Abbildung f vornehmen? Es heißt doch nur, dass "wenn es
> eine bijektive Abbildung gibt". Das bedeutet ja nicht, dass
> es dann die oben defnierte Abbildung sein muss.
Eben. Darum kannst du nicht f definieren. Aber [mm] $m_1,\ldots,m_n$ [/mm] musst du sogar definieren, wenn du sie verwenden willst. Gegeben hast du ja bei der Rückrichtung ersteinmal keine [mm] $m_1,\ldots,m_n$, [/mm] sondern nur die Abbildung $f$.
> Dann wäre f(0,...,0)=0, wegen der Linearität der
> Abbildung f.
> Das würde mit der Injektivität der Abbildung f die
> lineare Unabhängigkeit des Systems [mm]m_1,...,m_n[/mm] bedeuten.
Ich denke, du solltest auf jeden Fall näher ausführen, wie die Linearität und Injektivität von f zu der linearen Unabhängigkeit des Systems [mm] $m_1,\ldots,m_n$ [/mm] führen.
> Mit der Surjektivität von f folgt dann, dass man jedes m
> [mm]\in[/mm] M darstellen kann.
Wie folgt aus Surjektivität und Linearität von f die Erzeugendensystemeigenschaft von [mm] $m_1,\ldots,m_n$?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 So 03.06.2012 | | Autor: | it123 |
Das System [mm] m_1,...,m_n [/mm] definiere ich mir also durch einen beliebigen R-Modul-Isomorphismus f.
[mm] m_1:=f(1,0,...,0)
[/mm]
.
.
.
[mm] m_n:=f(0,...,0,1)
[/mm]
Um die lineare Unabhängigkeit zu zeigen, muss ich zeigen, dass aus:
[mm] s_1*m_1+...+s_n*m_n=0 [/mm]
[mm] s_1=...=s_n=0 [/mm] folgt mit [mm] s_i \in [/mm] R.
Also:
[mm] s_1*m_1+...+s_n*m_n=0 [/mm]
[mm] \gdw s_1*f(1,0,...,0)+...+s_n*f(0,...,0,1)=0
[/mm]
[mm] \gdw f(s_1,0,...,0)+...+f(0,...,0,s_n)=0
[/mm]
[mm] \gdw f(s_1,...,s_n)=0
[/mm]
Dabei habe ich die Linearität von f ausgenutzt.
Da f injektiv ist, ist Ker f =0. Also [mm] (s_1,...,s_n)=0=(0,...,0)
[/mm]
Erzeugendensystem:
Könnte man nicht einfach die [mm] m_1,...,m_n [/mm] so definieren, dass sie eines bilden? f ist ja surjektiv, also kann jedes beliebige m dargestellt werden durch die Abbildung f.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 So 03.06.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Das System [mm]m_1,...,m_n[/mm] definiere ich mir also durch einen
> beliebigen R-Modul-Isomorphismus f.
> [mm]m_1:=f(1,0,...,0)[/mm]
> .
> .
> .
> [mm]m_n:=f(0,...,0,1)[/mm]
Genau.
> Um die lineare Unabhängigkeit zu zeigen, muss ich zeigen,
> dass aus:
> [mm]s_1*m_1+...+s_n*m_n=0[/mm]
> [mm]s_1=...=s_n=0[/mm] folgt mit [mm]s_i \in[/mm] R.
> Also:
> [mm]s_1*m_1+...+s_n*m_n=0[/mm]
> [mm]\gdw s_1*f(1,0,...,0)+...+s_n*f(0,...,0,1)=0[/mm]
> [mm]\gdw f(s_1,0,...,0)+...+f(0,...,0,s_n)=0[/mm]
>
> [mm]\gdw f(s_1,...,s_n)=0[/mm]
> Dabei habe ich die Linearität von f
> ausgenutzt.
> Da f injektiv ist, ist Ker f =0. Also
> [mm](s_1,...,s_n)=0=(0,...,0)[/mm]
Sehr schön!
> Erzeugendensystem:
> Könnte man nicht einfach die [mm]m_1,...,m_n[/mm] so definieren,
> dass sie eines bilden?
Naja, die [mm] $m_1,\ldots,m_n$ [/mm] sind ja nunmehr schon definiert. Wenn wir sie doch anders definieren wollten, müssten wir auch mit dem Beweis der linearen Unabhängigkeit von vorne anfangen.
> f ist ja surjektiv, also kann jedes
> beliebige m dargestellt werden durch die Abbildung f.
Ja, das ist in der Tat die richtige Idee.
Sei [mm] $m\in [/mm] M$. Zu zeigen ist, dass [mm] $r_1,\ldots,r_n\in\IR$ [/mm] existieren mit [mm] $m=r_1m_1+\ldots+r_nm_n$.
[/mm]
Da $f$ surjektiv ist, lässt sich "m darstellen durch f", womit folgendes gemeint ist: ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 So 03.06.2012 | | Autor: | it123 |
Es gilt also, dass [mm] f(r_1,...,r_n)=m [/mm] für jedes m [mm] \in [/mm] M gilt.
Also:
[mm] M=f(r_1,...,r_n)=f(r_1,0,...,0)+...+f(0,...,0,r_n)=r_1*f(1,0,...,0)+...+r_n*f(0,...,0,r_n)=r_1*m_1+...+r_n*m_n
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 So 03.06.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Es gilt also, dass [mm]f(r_1,...,r_n)=m[/mm] für jedes m [mm]\in[/mm] M
> gilt.
Für jedes [mm] $m\in [/mm] M$ (also auch für das von uns gerade betrachtete [mm] $m\in [/mm] M$) existieren wegen der Surjektivität von f Ringelemente [mm] $r_1,\ldots,r_n\in [/mm] R$ mit [mm] $f((r_1,\ldots,r_n))=m$.
[/mm]
> Also:
>
> [mm]\blue{M}=f(r_1,...,r_n)=f(r_1,0,...,0)+...+f(0,...,0,r_n)=r_1*f(1,0,...,0)+...+r_n*f(0,...,0,\blue{r_n})=r_1*m_1+...+r_n*m_n[/mm]
Abgesehen von den Schreibfehlern, die ich blau markiert habe: .
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