R-linear (?) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Di 10.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Gibt es eine [mm] \IR-lineare [/mm] Abbildung a: [mm] \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] mit folgenden Eigenschaften?
Aufgabenteil a)
a [mm] (\vektor{-2 \\ 2 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1}
[/mm]
[mm] a(\vektor{0 \\ 1 \\ -1}) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3}
[/mm]
[mm] a(\vektor{0 \\ 3 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] |
Hallo.
Also. Da b) und c) vom Prinzip dasselbe sein müsste, hab ich nur die a) reingesetzt. Nur, wie macht man sowas?
Für eine [mm] \IR [/mm] lineare Abb. müsste die Linearität gelten, also
a(x+y) = a(x) + a(y)
a(r*x) = r * a(x)
x,y [mm] \in \IR^{3}, [/mm] r [mm] \in \IR
[/mm]
Kann mir vllt jemand erklären, wie man diese Aufgabe vom Ansatz her bewältigt? Ich könnte mir ein LGS vorstellen, nur komme ich irgendwie nicht drauf.
Danke schonmal sehr.
Gruß SolRakt
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> Gibt es eine [mm]\IR-lineare[/mm] Abbildung a: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm]
> mit folgenden Eigenschaften?
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> Aufgabenteil a)
>
> a [mm](\vektor{-2 \\
2 \\
0})[/mm] = [mm]\vektor{2 \\
1}[/mm]
>
> [mm]a(\vektor{0 \\
1 \\
-1})[/mm] = [mm]\vektor{2 \\
3}[/mm]
>
> [mm]a(\vektor{0 \\
3 \\
0})[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
1}[/mm]
>
> Hallo.
>
> Also. Da b) und c) vom Prinzip dasselbe sein müsste, hab
> ich nur die a) reingesetzt. Nur, wie macht man sowas?
>
> Für eine [mm]\IR[/mm] lineare Abb. müsste die Linearität gelten,
> also
>
> a(x+y) = a(x) + a(y)
> a(r*x) = r * a(x)
>
> x,y [mm]\in \IR^{3},[/mm] r [mm]\in \IR[/mm]
>
> Kann mir vllt jemand erklären, wie man diese Aufgabe vom
> Ansatz her bewältigt? Ich könnte mir ein LGS vorstellen,
> nur komme ich irgendwie nicht drauf.
Das ist eine sehr gute Idee. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du kannst es sogar so aufstellen, dass gilt
[mm]A*\underbrace{\pmat{-2&0&0\\
2&1&3\\
0&-1&0}}_{T}=\pmat{2&2&0\\
1&3&1}[/mm]
Beachte T ist invertierbar.
A ist deine gesuchte Abbildung (diese ist offensichtlich linear)
>
> Danke schonmal sehr.
>
> Gruß SolRakt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Di 10.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke sehr für deine Antwort.
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, muss ich die inverse Matrix zu T finden, um A zu bekommen. Das ist auch kein Problem.
Nur wie mache ich eine Aussage darüber, ob die Abbdilung nun R-linear ist. Du hattest geschrieben, dass das offensichtlich ist. Sry, aber ich seh das leider nicht. Kannst du mir vllt erklären, woran du das erkennst?
Danke vielmals. Gruß SolRakt
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Naja du kannst jetzt alles auf A schieben.
z.z.
A(x+y)=Ax+Ay.
A(rx)=rAx
Das ist aber bei Matrizen laut deren Rechengesetzen immer so.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Di 10.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke :)
Nur mal so zur Vorstellung. In der Aufgabe ist ja gefragt, ob es eine R-lineare Abb. mit den Eigenschaften gibt. Diese Frage könnte man also immer mit "Ja" beantworten, wenn diese Matrix A existiert? Die R-Linearität ist dann aber auf jeden Fall gegeben (ich werds aber trotzdem zeigen, nur zur Sicherheit)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:53 Mi 11.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja!
Gruss leduart
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