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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Di 26.10.2004 | | Autor: | SERIF |
Hallo Zusammen. Ich hatte mal eine Frage. Wir haben heute in der Vorlesung über Restmengen gesprochen. der Prof. War zu schnell. Ich bin dabei zu Lernen.
Kann bitte jemand mir paar Beispiele über Restmengen geben? und modulu und so was. Dankeschön
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Di 26.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo SERIF!
Es sei $m [mm] \in \IZ$. [/mm] Dann heißen zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ kongruent modulo $m$, wenn sie bei der Division durch $m$ den gleichen Rest lassen. Äquivalent dazu ist, dass $a-b$ in [mm] $\IZ$ [/mm] durch $m$ teilbar ist.
Man schreibt:
$a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \pmod{m}$.
[/mm]
Ist etwa $m=7$, dann sind zum Beispiel die zu $3$ kongruenten Zahlen modulo $7$ gerade [mm] $\ldots,-11,-4,3,10,17,\ldots$.
[/mm]
Man schreibt:
[mm] $\bar{3}_7:= \{b \in \IZ\, : \, b \equiv 3 \pmod{7}\} [/mm] = [mm] \{\ldots,-11,-4,3,10,17,\ldots\}$.
[/mm]
Beachte:
[mm] $\bar{3}_7=\bar{10}_7 [/mm] = [mm] \overline{-4}_7 [/mm] = [mm] \ldots$.
[/mm]
Nun setzt man:
[mm] $\IZ/7\IZ :=\{ \bar{0}_7,\bar{1}_7,\bar{2}_7,\ldots,\bar{6}_7\}$
[/mm]
und legt folgende Rechengesetze fest:
[mm] $\bar{x}_7 [/mm] + [mm] \bar{y}_7 [/mm] := [mm] (\overline{x+y})_7$,
[/mm]
[mm] $\bar{x}_7 \cdot \bar{y}_7 [/mm] := [mm] (\overline{x\cdot y})_7$.
[/mm]
Wichtig ist, dass man sich davon überzeugt, dass diese Definitionen von der Auswahl der Repräsentanten unabhängig sind, dass also
[mm] $\bar{x}_7 [/mm] + [mm] \bar{y}_7 [/mm] = [mm] \bar{x'}_7 [/mm] + [mm] \bar{y'}_7$,
[/mm]
[mm] $\bar{x}_7 \cdot \bar{y}_7 [/mm] = [mm] \overline{x'}_7\cdot \overline{y'}_7$
[/mm]
gilt, wenn
$x [mm] \equiv [/mm] x' [mm] \pmod{7}$
[/mm]
und
$y [mm] \equiv [/mm] y' [mm] \pmod{7}$
[/mm]
gilt. Versuche das doch mal als Übungsaufgabe!
Jetzt kannst du die $7$ durch ein allgemeines $m [mm] \in \IZ$ [/mm] ersetzen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Mi 27.10.2004 | | Autor: | SERIF |
Danke, jetz habe ich es verstanden.
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