(R,+) zu (R0,*) nicht isomorph < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 So 24.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | Man zeige, dass [mm] (\IR,+) [/mm] nicht isomorph zu [mm] (\IR_{0},*) [/mm] ist. [mm](\IR_{0},*):=\{r \in \IR | r \neq 0\}[/mm]
Hinweis: Man überlege sich, dass eine negative Zahl nicht als Bild eines Elementes bzgl. eines Isomorphismus auftreten kann. |
Hallo,
ich weiß dass eine Isomorphie definiert wird durch:
i) [mm]f(a \oplus b)=f(a) \odot f(b)[/mm]
ii) [mm]f[/mm] ist bijektiv
Da wir den Hinweis haben, dass man sich überlegen soll, dass eine negative Zahl nicht als Bild eines Elementes bzgl. eines Isomorphismus auftreten kann, würde ich versuchen die Aufgabe mit Hilfe der Eigenschaft ii) zu lösen.
Ich will also zeigen dass eine solche Abbildung nicht injektiv bzw. surjektiv sein kann.
Injektiv bedeutet: [mm]f(a)=f(b) \Rightarrow a=b[/mm].
Meine erste Idee war, dass ich mir einfach eine Funktion nehme und den Widerspruch aufzeige. Aber mein Problem ist die algebraischen Strukturen [mm] (\IR,+) [/mm] und [mm] (\IR_{0},*) [/mm] dabei zu verwenden.
Hoffe mir kann jemand auf die Sprünge helfen falls ich das so beweisen kann.
Gruß Lyrn
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 So 24.10.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo Lyrn
Du sollst zeigen, dass eine Funktion f mit der Eigenschaft $f(x+y)=f(x)f(y)$ nicht surjektiv sein kann. Am besten zeigst du, dass fuer kein x $f(x)=-1$ sein kann.
In der Multiplikativen Gruppe gibt es ein Element der Ordnung 2, naemlich $-1$. Aber in der additiven Gruppe haben alle Elemente ausser 0 unendliche Ordnung.
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 So 24.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
> Hallo Lyrn
>
> Du sollst zeigen, dass eine Funktion f mit der Eigenschaft
> [mm]f(x+y)=f(x)f(y)[/mm] nicht surjektiv sein kann. Am besten zeigst
> du, dass fuer kein x [mm]f(x)=-1[/mm] sein kann.
Soll ich hier also [mm]f(x)=-1[/mm] setzen? Sodass da dann steht, [mm]f(x+y)=-f(y)[/mm]? Demnach müsste ich ja hier zeigen dass es kein x aus [mm] (\IR,+) [/mm] gibt, das diese Gleichung erfüllt. Oder habe ich dich jetzt falsch verstanden?
> In der Multiplikativen Gruppe gibt es ein Element der
> Ordnung 2, naemlich [mm]-1[/mm]. Aber in der additiven Gruppe haben
> alle Elemente ausser 0 unendliche Ordnung.
Kannst du mir das bitte genauer erklären was mit der Ordnung gemeint ist?
Die Ordnung gibt doch an, wie oft ich ein Element mit sich Selbst verknüpfen muss, damit das neutrale Element entsteht. Bei der Multiplikativen Gruppe wär das dann ja [mm]-1*-1=1[/mm]. Also das neutrale Element der Multiplikation.
Bei der Addition ist das neutrale Element die 0, demnach gibt es kein Element a (außer a=0), mit dem ich durch a+...+a das neutrale Element 0 erhalte richtig?
Aber wie genau hilft mir das bei meinem Beweis?
Vielen Dank schonmal für deine Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 So 24.10.2010 | | Autor: | moudi |
Bei einem Isomorphismus bleibt die Ordnung erhalten.
Die Idee von (Gruppen-) Isomorphismen ist zu zeigen, dass zwei Menge dieselbe Struktur haben. Sind zwei Gruppen isomorph, so sind es "dieselben Gruppen". Da es in [mm] $\mathbb R,\cdot$ [/mm] ein Element der Ordnung 2 gibt, so muesste es auch ein Element in [mm] $\mathbb [/mm] R, +$ der Ordnung 2 geben, wenn die Gruppen isomorph waeren. Da es das nicht gibt, koennen die beiden Gruppen nicht isomorph sein.
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 So 24.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
Also reicht es zu sagen:
Die beiden algebraischen Strukturen können nicht Isomorph sein, da es in [mm] (\IR_{0},*) [/mm] ein Element der Ordnung 2 gibt:
[mm]x=-1 \Rightarrow x*x=1[/mm].
In [mm] (\IR,+) [/mm] existieren außer die 0 nur Elemente unendlicher Ordnung.
Jetzt müsste ich doch aber noch die Surjektivität einbeziehen:
[mm]f(x+y)=f(x)*f(y)[/mm]
Aber wie genau mach ich das? Oder reicht der obere Teil für meinen Beweis aus?
Vielen Dank nochmal :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 So 24.10.2010 | | Autor: | moudi |
Ja, so kann man es gelten lassen.
Moudi
|
|
|
|
