R[0,2\pi] nicht vollständig < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Do 20.05.2010 | | Autor: | GnaGna |
| Aufgabe | | Es gibt kein f in [mm] R[0,2\pi] [/mm] mit [mm] ||f_n [/mm] - [mm] f||_2 [/mm] ->0, somit ist [mm] (R[0,2\pi],||.||_2) [/mm] nicht vollständig. (Wobei [mm] (f_n) [/mm] in [mm] C[0,2\pi], f_n [/mm] (x) = min{ n, [mm] x^{-1/3} [/mm] } ) |
Ich verstehe nicht, ganz, inwiefern es keine einzige solche Funktion geben sollte.
Ich setze nun einfach einmal die Definition ein:
[mm] (\integral_{0}^{2\pi}{|f_n - f|^{2} dx} )^{1/2} [/mm] =
[mm] (\integral_{0}^{2\pi}{|min( n, x^{-1/3} ) - f|^{2} dx} )^{1/2}
[/mm]
Wähle ich nun n genügend groß, z.b. 100, so bekomme ich immer den Wert [mm] x^{-1/3} [/mm] heraus. Und für diesen Wert gibt es eine Regelfunktion, da er eine stetig Funktion von x ist. Entsprechend würde für das gesamte Integral 0 herauskommen, was aber widersprüchlich zu dem wäre, was es zu beweisen gilt.
Ich komme einfach nicht auf meinen Denkfehler, vielleicht hat jemand von euch eine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Do 20.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Wähle ich nun n genügend groß, z.b. 100, so bekomme ich
> immer den Wert [mm]x^{-1/3}[/mm] heraus.
ein, schau dir das ganze mal um die 0 herum an! Da unterschiedet sich die Funktion schon stark von [m]x^{-1/3}[/m].
> Und für diesen Wert gibt
> es eine Regelfunktion, da er eine stetig Funktion von x
> ist. Entsprechend würde für das gesamte Integral 0
> herauskommen, was aber widersprüchlich zu dem wäre, was
> es zu beweisen gilt.
Was ist denn dein f?
> Ich komme einfach nicht auf meinen Denkfehler, vielleicht
> hat jemand von euch eine Idee?
Was soll dein f sein?
SEcki
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