R Modul Isomorphismus < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Mo 16.06.2008 | | Autor: | nevsehir |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es seien R ein kommutativer Ring Mit 1 und M ein R- Modul.
Zeigen Sie, dass ein Isomorphismus f: [mm] Hom_{R} [/mm] (R, [mm] M)\to [/mm] M von R- Moduln existiert. |
Hallo Leute,
ich komm mit der Aufgabe nicht. Brauche hilfe bei der Aufgabe. Wie muss ich vorgehen?
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Di 17.06.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es seien R ein kommutativer Ring Mit 1 und M ein R-
> Modul.
> Zeigen Sie, dass ein Isomorphismus f: [mm]Hom_{R}[/mm] (R, [mm]M)\to[/mm] M
> von R- Moduln existiert.
> ich komm mit der Aufgabe nicht. Brauche hilfe bei der
> Aufgabe. Wie muss ich vorgehen?
Ein 'muss' gibt es hier überhaupt nicht. Ist dir denn klar, warum R ein R-Modul ist? Und wie ein [mm] \phi \in[/mm] [mm]Hom_{R}[/mm] (R, M) aussieht? Und warum [mm]Hom_{R}[/mm] (R, M) auch ein R-Modul ist? Die erste Voraussetzung zum erfolgreichen Angriff auf diese Aufgabe ist, sich das alles zu verdeutlichen, was wohl auch der Lernzweck der Aufgabe ist.
Dann muß so ein Isomorphismus f beigeschafft werden. Vielleicht fiele es dir leichter, wenn R ein Körper K (z. B. [mm] \IR) [/mm] wäre. Wie sähe das dann aus? Welche Dimension hat K über K?
Fang mal an!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Di 17.06.2008 | | Autor: | nevsehir |
| Aufgabe | Also R ist ein r modul da gilt:
(m, +) ist eine abelsche gruppe mit der Abb. [mm] MxR\to [/mm] M, [mm] (r,m)\mapsto [/mm] mr und den folgenden eigenschaften
m(r_(1)*r_(2) )= (mr_(1))*r_(2)
(m_(1)+m_(2))*r = m_(1)*r+ m_(2)*r
m*1 = m
Wie so ein [mm] Hom_{R} (R,M)\to [/mm] M aussieht keine Ahnung. In der vorlesung haben wir das als Hom(M,N) = { g: [mm] M\to [/mm] N : R Modul hom} definiert mit M,N R- Modul und [mm] g:M\to [/mm] N gilt
[mm] g(m_{1}+m_{2}) =g(m_{1})+ g(m_{2})
[/mm]
g(mr) = g(m)r |
Dies ist das was ich alles aus der vorlesung weiß.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Mi 18.06.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Also R ist ein r modul da gilt:
> (m, +) ist eine abelsche gruppe mit der Abb. [mm]MxR\to[/mm] M,
> [mm](r,m)\mapsto[/mm] mr und den folgenden eigenschaften
> m(r_(1)*r_(2) )= (mr_(1))*r_(2)
> (m_(1)+m_(2))*r = m_(1)*r+ m_(2)*r
> m*1 = m
Hier steht die Definition von R-(Rechts-)Modul. Aber warum ist R selbst ein R-Modul?
> Wie so ein [mm]Hom_{R}[/mm] (R,M) [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M aussieht keine Ahnung. In der
> vorlesung haben wir das als Hom(M,N) = { g: M[mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N : R
> Modul hom } definiert mit M,N R- Modul und g:M[mm]\to[/mm] N gilt
> [mm]g(m_{1}+m_{2}) =g(m_{1})+ g(m_{2})[/mm]
> g(mr) = g(m)r
Ich habe meinen Text oben korrigiert, vielleicht guckst du noch mal.
> Dies ist das was ich alles aus der vorlesung weiß.
Das reicht im Prinzip auch.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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