R ist vollständig - Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Di 02.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | Satz (DEDEKIND): [mm] \IR [/mm] ist vollständig.
Beweis.
Es sei [mm] \{X_n\} [/mm] eine beliebige Cauchy-Folge in [mm] \IR. [/mm] Es ist die Existenz einer Zahl [mm] X\in\IR [/mm] nachzuweisen mit [mm] \limes_{n\to\infty}X_n=X.
[/mm]
Dazu sei [mm] \{\varepsilon_n\} [/mm] eine Folge in [mm] \IR [/mm] mit [mm] \varepsilon_n>0 [/mm] und [mm] \lim_{n\to\infty}\varepsilon_n=F(0) [/mm] (z.B. leistet [mm] \varepsilon_n=F(\frac{1}{n}) [/mm] das Verlangte). Dann existiert für jedes n eine rationale Zahl $X'_n$ mit [mm] |X'_n-X_n|<\varepsilon_n.
[/mm]
Zunächst wird gezeigt, dass [mm] $\{X'_n\}$ [/mm] eine Cauchy-Folge in [mm] \IR [/mm] bildet. Es gilt: [mm] |X'_n-X'_m|\le|X'_n-X_n|+|X_n-X_m|+|X'_m-X_m|<\varepsilon_n+|X_n-X_m|+\varepsilon_m.
[/mm]
Zu einem beliebig vorgegebenem [mm] \varepsilon\in\IR, \varepsilon>0 [/mm] exisiert (da [mm] $\varepsilon_n\to [/mm] F(0)$ und [mm] \{X_n\} [/mm] Cauchy-Folge) eine [mm] N\in\IN [/mm] so, dass [mm] \varepsilon_n<\frac{\varepsilon}{3}, \varepsilon_m<\frac{\varepsilon}{3}, |X_n-X_m|<\frac{\varepsilon}{3} [/mm] für alle $n,m>N$. Für alle n,m>N gilt dann: [mm] |X'_n-X'_m|<\varepsilon.
[/mm]
Also ist [mm] \{X'_n\} [/mm] eine Cauchy-Folge in [mm] \IR [/mm] und damit [mm] \{F^{-1}(X'_n)\} [/mm] eine Cauchy-Folge in [mm] \IQ. [/mm] |
Als kleine Erläuterung: Es geht um die Konstruktion von [mm] \IR [/mm] mittels Klasseneinteilungen von Cauchy-Folgen aus [mm] \IQ. [/mm] Große lateinische Buchstaben bezeichnen hierbei die bereits konstruierten Elemente von [mm] \IR. [/mm] Es wurde [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IR [/mm] eingebettet mittels einer Abbildung F, [mm] F(\frac{1}{n}) [/mm] bezeichnet also ein Element von [mm] \IR, [/mm] dass als rationale Zahl verstanden wird.
Allerdings ist meine Frage gar nicht so sehr themenbezogen, ich verstehe einfach nicht, wie der erste Schritt der Abschätzung vollzogen wird. Ich vermute, dass ich seit Tagen einfach etwas sehr Offensichtliches übersehe, aber mir wird nicht klar, was.
Der Beweis zieht sich noch ein ganzes Stück, aber der Rest ist mir, soweit ich das bis jetzt überblicke klar. Wenn mir kurz jemand sagen könnt, wie diese Abschätzung zustande kommt, wäre mir schon sehr geholfen.
Viele Dank und Viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Di 02.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Satz (DEDEKIND): [mm]\IR[/mm] ist vollständig.
> Beweis.
>
> Es sei [mm]\{X_n\}[/mm] eine beliebige Cauchy-Folge in [mm]\IR.[/mm] Es ist
> die Existenz einer Zahl [mm]X\in\IR[/mm] nachzuweisen mit
> [mm]\limes_{n\to\infty}X_n=X.[/mm]
> Dazu sei [mm]\{\varepsilon_n\}[/mm] eine Folge in [mm]\IR[/mm] mit
> [mm]\varepsilon_n>0[/mm] und [mm]\lim_{n\to\infty}\varepsilon_n=F(0)[/mm]
> (z.B. leistet [mm]\varepsilon_n=F(\frac{1}{n})[/mm] das Verlangte).
> Dann existiert für jedes n eine rationale Zahl [mm]X'_n[/mm] mit
> [mm]|X'_n-X_n|<\varepsilon_n.[/mm]
> Zunächst wird gezeigt, dass [mm]\{X'_n\}[/mm] eine Cauchy-Folge in
> [mm]\IR[/mm] bildet. Es gilt:
> [mm]|X'_n-X'_m|\le|X'_n-X_n|+|X_n-X_m|+|X'_m-X_m|<\varepsilon_n+|X_n-X_m|+\varepsilon_m.[/mm]
> Zu einem beliebig vorgegebenem [mm]\varepsilon\in\IR, \varepsilon>0[/mm]
> exisiert (da [mm]\varepsilon_n\to F(0)[/mm] und [mm]\{X_n\}[/mm]
> Cauchy-Folge) eine [mm]N\in\IN[/mm] so, dass
> [mm]\varepsilon_n<\frac{\varepsilon}{3}, \varepsilon_m<\frac{\varepsilon}{3}, |X_n-X_m|<\frac{\varepsilon}{3}[/mm]
> für alle [mm]n,m>N[/mm]. Für alle n,m>N gilt dann:
> [mm]|X'_n-X'_m|<\varepsilon.[/mm]
> Also ist [mm]\{X'_n\}[/mm] eine Cauchy-Folge in [mm]\IR[/mm] und damit
> [mm]\{F^{-1}(X'_n)\}[/mm] eine Cauchy-Folge in [mm]\IQ.[/mm]
> Als kleine Erläuterung: Es geht um die Konstruktion von
> [mm]\IR[/mm] mittels Klasseneinteilungen von Cauchy-Folgen aus [mm]\IQ.[/mm]
> Große lateinische Buchstaben bezeichnen hierbei die
> bereits konstruierten Elemente von [mm]\IR.[/mm] Es wurde [mm]\IQ[/mm] in [mm]\IR[/mm]
> eingebettet mittels einer Abbildung F, [mm]F(\frac{1}{n})[/mm]
> bezeichnet also ein Element von [mm]\IR,[/mm] dass als rationale
> Zahl verstanden wird.
>
> Allerdings ist meine Frage gar nicht so sehr themenbezogen,
> ich verstehe einfach nicht, wie der erste Schritt der
> Abschätzung vollzogen wird. Ich vermute, dass ich seit
> Tagen einfach etwas sehr Offensichtliches übersehe, aber
> mir wird nicht klar, was.
Meinst Du das:
$ [mm] |X'_n-X'_m|\le|X'_n-X_n|+|X_n-X_m|+|X'_m-X_m| [/mm] $ ?
>
Das folgt aus [mm] X_n'-X_m'= X_n'-X_n+X_n-X_m+X_m-X_m' [/mm] und der Dreiecksungl.
FRED
> Der Beweis zieht sich noch ein ganzes Stück, aber der Rest
> ist mir, soweit ich das bis jetzt überblicke klar. Wenn
> mir kurz jemand sagen könnt, wie diese Abschätzung
> zustande kommt, wäre mir schon sehr geholfen.
>
> Viele Dank und Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Di 02.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Jap, danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Di 02.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Axiom,
Fred hatte es ja schon erklärt, aber nur, damit das Prinzip klar ist (man
muss es nur einmal verstanden haben, danach werden solche
Abschätzungen mit der Dreiecksungleichung einfach automatisch
gemacht - übrigens wird Dir das eh noch haufenweise begegnen):
Nach der Dreiecksungleichung gilt
$$|r+s| [mm] \le |r|+|s|\,.$$
[/mm]
Daher
$$|a-b|=|(a-c)+(c-b)| [mm] \le [/mm] |a-c|+|c-b|$$
oder auch
[mm] $$|a-b|=|(a-c)+(c-d)+(d-b)|\le [/mm] |a-c|+|(c-d)+(d-b)| [mm] \le [/mm] |a-c|+|c-d|+|d-b|$$
.
.
.
Das kann man natürlich noch weiter treiben - je nachdem, wie weit man
es braucht.
Was Du Dir aber auch behalten solltest, und das übersieht man anfangs
mal schnell:
1.) Aus der Dreiecksungleichung folgt natürlich auch
$$|a-b|=|a+(-b)| [mm] \le |a|+|-b|=|a|+|b|\,.$$
[/mm]
2.) Und es gilt, was auch gerne und oft verwendet wird:
[mm] $$|\;\;|a|-|b|\;\;| \le |a-b|\,,$$
[/mm]
die sogenannte umgekehrte Dreiecksunggleichung.
Letztstehendes sollte man unbedingt mal bewiesen haben!
(Tipp: Das folgt fast direkt aus [mm] $a=a-b+b\,$ [/mm] und der Dreiecksungleichung!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Di 02.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
Die (abgewandelten) Abschätzungen von Beträgen nach oben und unten folgend aus der Dreiecksungleichungen sind mir recht gut bekannt, habe auch alle bewiesen. Auch die Anwendung in diesem Fall habe ich schon genauso gehabt, sogar mit vier Summanden und zwar beim Beweis des Enschließungskriteriums. Hier hab ich es schlicht und einfach übersehen.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Di 02.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Axiom,
> Hallo,
>
> Die (abgewandelten) Abschätzungen von Beträgen nach oben
> und unten folgend aus der Dreiecksungleichungen sind mir
> recht gut bekannt, habe auch alle bewiesen. Auch die
> Anwendung in diesem Fall habe ich schon genauso gehabt,
> sogar mit vier Summanden und zwar beim Beweis des
> Enschließungskriteriums.
sehr gut.
> Hier hab ich es schlicht und
> einfach übersehen.
Kann passieren.
P.S.
Es gibt auch noch die Vierecksungleichung (einer Metrik)... aber okay:
Wir wollen's mal nicht übertreiben, ich schreib' sie jetzt nicht hin. Aber
wenn Du mal Zeit und Lust hast, kannst Du sie ja mal nachschlagen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
