R[x]/(x^2+1) isomorph zu C < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Fr 15.06.2012 | | Autor: | r2d2 |
| Aufgabe | | Man zeige: [mm]\IR [x]/(x^2 +1) [/mm] und [mm]\IC[/mm] sind als Ringe isomorph |
Hallo,
ich komme bei einem Beweisschritt, die Struktur der Elemente der Faktorgruppe betreffend, einfach nicht weiter.
Meine Idee war, mir die Faktorgruppe [mm]\IR[x]/(x^2 +1)[/mm] anzusehen und dann einen Isomorphismus zu [mm]\IC[/mm] herzustellen.
Ich habe nach längerer Suche auch eine Beweisskizze gefunden, an der ich mich orientiere, doch ein Schritt ist mir leider noch immer unklar und komme einfach nicht darauf.
Könnte mir dabei jemand auf die Sprünge helfen?
[mm] \IR[/mm] ist ein Körper und (nach einem Satz aus der Vorlesung) [mm] \IR[x][/mm] somit ein Euklidischer Ring, also insbesondere ein Hauptidealring
Weil [mm]p(x):=x^2+1 \in \IR[x] irreduzibel \gdw \IR[x]/(x^2 +1)[/mm] ein Körper (alles aus Sätzen der VO)
Nun sehe ich mir eine Klasse des Faktorrings an:
Seit [mm][f]\in\IR[x]/(x^2 +1)[/mm] eine Restklkasse mit Repräsentant [mm] f= f(x)[/mm]
Nach einem Satz für Euklidsche Ringe gilt: für [mm] p(x) = x^2 +1 \not= 0, f(x) beliebig, \exist q(x),r(x) \in \R[x]: f(x) = p(x)*q(x)+r(x)[/mm] mit [mm] r = 0 oder grad(r(x)) < grad(p(x)) = 2[/mm]
Damit ist nach dem Beweis, den ich gefunden habe r(x) auch ein Repräsentan von [f].
Und hier kommt meine Unklarheit:
Woher weiß ich das? Woher weiß ich, dass in [f] nur Polynome vom Grad kleiner als vorkommen?
Wenn ich mir die Faktorgruppe so ansehe, dann beinhaltet sie alle Polynome mod [mm] x^2 +1 [/mm], also Polynome vom Grad kleiner 2. Aber das ist wohl eine eher schlampige Formulierung oder?
Dann kann ich nämlich sagen, dass die Klassen der Faktorgruppe folgendermaßen aussehen [mm][a*x+b][/mm], also ferner, dass jedes Element aus dem Faktorring durch ein Polynom vom Grad < 2 repräsentiert wird.
Im folgenden zeige ich dann, dass der Faktorring ein zweidimensionaler [mm]\IR[/mm]-Vektorraum ist. (Also ich zeige zuerst, dass die Menge [mm] {1,x} [/mm] im Faktorring l.u. ist, also eine Basis von diesem Vektorraum aufspannt) und ferner, dass die Multiplikation und Addition, dieselben wie für [mm] \IC[/mm] sind.
Daher kann ich einen Körperisomorphismus [mm]\phi : [a*x+b] \to a*i + b \in \IC[/mm] definieren.
Liebe Grüße,
PS: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hi,
> Man zeige: [mm]\IR [x]/(x^2 +1)[/mm] und [mm]\IC[/mm] sind als Ringe
> isomorph
> Hallo,
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> ich komme bei einem Beweisschritt, die Struktur der
> Elemente der Faktorgruppe betreffend, einfach nicht
> weiter.
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> Meine Idee war, mir die Faktorgruppe [mm]\IR[x]/(x^2 +1)[/mm]
> anzusehen und dann einen Isomorphismus zu [mm]\IC[/mm]
> herzustellen.
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> Ich habe nach längerer Suche auch eine Beweisskizze
> gefunden, an der ich mich orientiere, doch ein Schritt ist
> mir leider noch immer unklar und komme einfach nicht
> darauf.
> Könnte mir dabei jemand auf die Sprünge helfen?
>
> [mm]\IR[/mm] ist ein Körper und (nach einem Satz aus der Vorlesung)
> [mm]\IR[x][/mm] somit ein Euklidischer Ring, also insbesondere ein
> Hauptidealring
>
> Weil [mm]p(x):=x^2+1 \in \IR[x] irreduzibel \gdw \IR[x]/(x^2 +1)[/mm]
> ein Körper (alles aus Sätzen der VO)
Ja [mm] $X^2+1$ [/mm] ist irreduzibel, also prim, da ein Faktorieller Ring vorliegt. Warum ist [mm] $X^2+1$ [/mm] irreduzibel? 
>
> Nun sehe ich mir eine Klasse des Faktorrings an:
> Seit [mm][f]\in\IR[x]/(x^2 +1)[/mm] eine Restklkasse mit
> Repräsentant [mm]f= f(x)[/mm]
> Nach einem Satz für Euklidsche
> Ringe gilt: für [mm]p(x) = x^2 +1 \not= 0, f(x) beliebig, \exist q(x),r(x) \in \R[x]: f(x) = p(x)*q(x)+r(x)[/mm]
> mit [mm]r = 0 oder grad(r(x)) < grad(p(x)) = 2[/mm]
>
> Damit ist nach dem Beweis, den ich gefunden habe r(x) auch
> ein Repräsentan von [f].
>
> Und hier kommt meine Unklarheit:
> Woher weiß ich das? Woher weiß ich, dass in [f] nur
> Polynome vom Grad kleiner als vorkommen?
Wie sehen die Elemente in [mm]\IR[X]/(X^2+1)[/mm] aus?
Ist [mm]f(X)\in \IR[x]/(x^2+1)[/mm], so lässt es sich schreiben als
[mm]f(X)=a(X)*(X^2+1)+b(X)[/mm].
Das ist völlig analog zu [mm]f\in \IZ/m\IZ[/mm], da ist auch [mm]f=a*m+b[/mm]
> Wenn ich mir die Faktorgruppe so ansehe, dann beinhaltet
> sie alle Polynome mod [mm]x^2 +1 [/mm],
Ja
> also Polynome vom Grad
> kleiner 2.
[mm] X^4-1=(X^2+1)(X^2+1)=0 [/mm] liegt auch in [mm]\IR[X]/(X^2+1)[/mm]!!
Alle Polynome werden nur durch Polynome vom Grad < 2 REPRÄSENTIERT.
> Aber das ist wohl eine eher schlampige
> Formulierung oder?
Ja
> Dann kann ich nämlich sagen, dass die Klassen der
> Faktorgruppe folgendermaßen aussehen [mm][a*x+b][/mm], also ferner,
> dass jedes Element aus dem Faktorring durch ein Polynom vom
> Grad < 2 repräsentiert wird.
>
> Im folgenden zeige ich dann, dass der Faktorring ein
> zweidimensionaler [mm]\IR[/mm]-Vektorraum ist. (Also ich zeige
> zuerst, dass die Menge [mm]{1,x}[/mm]
Menge [mm] $\{1,X\}$
[/mm]
> im Faktorring l.u. ist,
Genau. zeige [mm] $\overline{a*X+b*1}=\overline{0}$
[/mm]
> also
> eine Basis von diesem Vektorraum aufspannt) und ferner,
> dass die Multiplikation und Addition, dieselben wie für
> [mm]\IC[/mm] sind.
>
> Daher kann ich einen Körperisomorphismus [mm]\phi : [a*x+b] \to a*i + b \in \IC[/mm]
> definieren.
Ja und diese muss dann ausgewertet werden.
>
> Liebe Grüße,
>
Gruß zurück
wieschoo
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:56 Sa 16.06.2012 | | Autor: | r2d2 |
Hallo und danke für die Antwort!
Ja $ [mm] X^2+1 [/mm] $ ist irreduzibel, also prim, da ein Faktorieller Ring vorliegt. Warum ist $ [mm] X^2+1 [/mm] $ irreduzibel?
Irreduzibel bedeutet ja, dass [mm]X^2+1[/mm] nur triviale Teiler besitzt (Einheiten - [mm] E(\IR[x]) = \IR[/mm] = konstante Polynome - und assoziierte Elemente - [mm]p(x) \in \IR:\exist c \in\IR: p(x)*c=x^2 +1[/mm] ).
Erstens weiß ich mal, dass [mm]x^2 +1 [/mm] in [mm]\IR[/mm] keine Nullstelle besitzt.
Wenn ich mir nun die Teiler ansehen: [mm]p(x),q(x)\in\IR: x^2 +1 = p(x)*q(x)[/mm] müssen deren Grade in Summe genau zwei ergeben. Also kommen als Teiler nur Polynome vom Grad <= 2 in Frage.
Grad 0: Konstante Polynome, also triviale Teiler; Grad 1: Können kein Teiler sein, weil diese in [mm]\IR[/mm] immer eine Nullstelle besitzen und ich somit eine Nullstelle abspalten könnte, was nicht funktioniert. Grad 2: Hier kommen nur [mm] x^2+1 [/mm] und Vielfache (also die Assoziierten) in Frage, da ich andere Polynome [mm] a*x^2 +b*x +c, a,b,c\in\IR[/mm] nicht durch Multiplikation mit einer Konstanten zu [mm] x^2+1 [/mm] "machen" kann
Wie sehen die Elemente in $ [mm] \IR[X]/(X^2+1) [/mm] $ aus?
Ist $ [mm] f(X)\in \IR[x]/(x^2+1) [/mm] $, so lässt es sich schreiben als
$ [mm] f(X)=a(X)\cdot{}(X^2+1)+b(X) [/mm] $.
Das ist völlig analog zu $ [mm] f\in \IZ/m\IZ [/mm] $, da ist auch $ [mm] f=a\cdot{}m+b [/mm] $
Diese Analogie habe ich mir auch schon vorgestellt gehabt, aber die Verwendung für dieses Beispiel ist mir erst jetzt bewusst geworden.
D.h. $ [mm] f(X)=a(X)\cdot{}(X^2+1)+b(X) \gdw [/mm] f(X)=I+b(X)$ mit [mm] $I:=(x^2 [/mm] +1)$ und $a(x)*I=I$(Idealeigenschaften).
Also ist b(x) Repräsentant von [f] und vom Grad kleiner als zwei und da f beliebig, sind alle Repräsentanten vom Grad kleiner 2?
Damit kann ich dann die Äquivalenzklassen als $[a+b*x]$ angeben?
> Im folgenden zeige ich dann, dass der Faktorring ein
> zweidimensionaler $ [mm] \IR [/mm] $-Vektorraum ist. (Also ich zeige
> zuerst, dass die Menge $ {1,x} $
Menge $ [mm] \{1,X\} [/mm] $
> im Faktorring l.u. ist,
Genau. zeige $ [mm] \overline{a\cdot{}X+b\cdot{}1}=\overline{0} [/mm] $
Wozu ist dieser Schritt eigentlich genau notwendig? Damit ich zeige, dass der Faktorring und [mm] $\IC$ [/mm] diselbe Struktur haben und gleichmächtig sind? Und ich damit im Folgenden weiß, dass [mm] $\phi$ [/mm] zwischen gleichmächtigen Mengen abbildet?
> Daher kann ich einen Körperisomorphismus $ [mm] \phi [/mm] : [mm] [a\cdot{}x+b] \to a\cdot{}i [/mm] + b [mm] \in \IC [/mm] $
> definieren.
Ja und diese muss dann ausgewertet werden.
D.h. ich zeige, dass [mm] $\phi$ [/mm] wohldefiniert, bijektiv und bezüglich * und + verträglich ist, oder?
Also:
[mm] $\phi$ [/mm] ist wohldefiniert und injektiv: $a+b*i=c+d*i [mm] \gdw [/mm] a+b*x=c+d*x [mm] \gdw [/mm] [a+b*x]=[c+d*x]$
surjektiv: Zu jeder komplexen Zahl $a+b*i$ gibt es ein Polynom $a+b*x$ und somit auch eine Klasse $[a+b*x]$
+: [m]\phi([a_1 + b_1 *x]+[a_2 + b_2 *x])=\phi([(a_1 + a_2) + (b_1 + b_2 )*x])=(a_1 +a_2 )+ (b_1 + b_2)*i = (a_1 + b_1 * i) + (a_2 + b_2 * i)[/m]
*: [m] \phi([a+bx][c+dx])=\phi([(a+bx)(c+dx)])=\phi([ac+bcx+adx+bdx^2])[/m] (verwende: $ [mm] bdx^2 [/mm] = [mm] bd*(x^2 [/mm] +1 -1) = bd *I - bd = I - bd = -bd$) [m] = \phi([(ac-bd)+(bc-ad)*x])=(a+bi)(c+di)[/m]
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 18.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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