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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mi 12.11.2014 | | Autor: | evinda |
Hallo!!! 
Ich will zeigen dass das Radikal des Ideals [mm] I=\langle x^5, y^3 \rangle [/mm] im Ring [mm] \mathbb{C}[x,y], [/mm] das [mm] Rad(I)=\langle [/mm] x, y [mm] \rangle [/mm] ist.
Ich habe folgendes versucht:
[mm] x^5 \in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Rad(I)
[mm] y^3 \in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] Rad(I)
Also, [mm] \langle [/mm] x, y [mm] \rangle \subseteq [/mm] Rad(I)
Um zu zeigen dass [mm] \langle [/mm] x, y [mm] \rangle \supseteq [/mm] Rad(I), muss ich folgendes machen?
Sei a [mm] \in [/mm] Rad(I) dann [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] sodass [mm] a^n \in I=\langle x^5, y^3 \rangle [/mm] , das heisst dass [mm] a^n=x^5 \cdot [/mm] k [mm] +y^3 \cdot \lambda [/mm] , k , [mm] \lambda \in \mathbb{C}.
[/mm]
Wie kann ich weiter machen?
Wie kann ich zeigen, dass a [mm] \in \langle [/mm] x,y [mm] \rangle [/mm] ?
Ich habe die Frage auch im Matheplanet gestellt.
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Hallo,
es ist etwas schwierig dir da zu helfen, weil der Beweis sehr kurz ist.
Welche spezielle Eigenschaft hat denn <x,y> ?
Mit der wäre nur noch $Rad(I) [mm] \neq \mathbb [/mm] C [x,y]$ zu zeigen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mi 12.11.2014 | | Autor: | evinda |
Meinst du, dass ich folgendes benutzen soll?
Wenn M ein maximales Ideal in R ist und wenn I ein Ideal ist, sodass M [mm] \subseteq [/mm] I [mm] \subseteq [/mm] R, dann ist entweder M=I oder M=R.
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> Meinst du, dass ich folgendes benutzen soll?
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> Wenn M ein maximales Ideal in R ist und wenn I ein Ideal
> ist, sodass M [mm]\subseteq[/mm] I [mm]\subseteq[/mm] R, dann ist entweder
> M=I oder M=R.
Das ist etwas seltsam ausgedrückt, zum anderen Falsch. (Ein maximales Ideal kann nie der ganze Ring sein.)
Bitte schlag die Definition von maximales Ideal nach. (Und am besten noch die Charakterisierung)
Und ja die sollst du hier ausnützen.
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Hi,
nur eine ganz kurze Anmerkung:
> , das heisst dass [mm]a^n=x^5 \cdot[/mm] k [mm]+y^3 \cdot \lambda[/mm] , k ,
> [mm]\lambda \in \mathbb{C}.[/mm]
Nach Definition eines Ideals darfst du mit beliebigen Elementen aus deinem Ring multiplizieren. Da der Ring in diesem Fall [mm] $\IC[x,y]$ [/mm] ist, muss also auch [mm] $k,\lambda \in \IC[x,y]$ [/mm] gelten.
Insbesondere wäre sowas wie $k = [mm] 5x^2+3xy$ [/mm] durchaus möglich und erlaubt.
Insgesamt wäre es aber wohl leichter die Beweisidee von justdroppingby zu nehmen, vor allem wenn du schon weißt, dass [mm] $\langle x,y\rangle$ [/mm] maximal ist.
Als Tipp dazu: Es ist recht einfach folgende Aussage zu zeigen:
Ist $I [mm] \subsetneqq [/mm] R$ ein echtes Ideal, so ist auch $Rad(I) [mm] \subsetneqq [/mm] R$ ein echtes Ideal.
Und warum dein Ausgangsideal nicht der ganze Ring ist kriegst du sicher hin, oder? :)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mi 12.11.2014 | | Autor: | evinda |
Um zu zeigen dass [mm] \langle [/mm] x, y [mm] \rangle [/mm] ein maximales Ideal ist, muss ich zeigen dass [mm] \mathbb{C}[x,y]/\langle [/mm] x,y [mm] \rangle [/mm] ein Körper ist?
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Das ist eine Möglichkeit, ja.
In diesem Fall kannst du sogar ganz genau angeben um welchen Körper es sich handelt, indem du dich fragst: was bleibt übrig, wenn man $x$ und $y$ beide auf $0$ setzt?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:43 Do 13.11.2014 | | Autor: | evinda |
> Das ist eine Möglichkeit, ja.
> In diesem Fall kannst du sogar ganz genau angeben um
> welchen Körper es sich handelt, indem du dich fragst: was
> bleibt übrig, wenn man [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] beide auf [mm]0[/mm] setzt?
Dann bleiben die Konstante in [mm] \mathbb{C} [/mm] übrig, oder nicht?
Hat man dann gezeigt dass [mm] \mathbb{C}[x,y]/\langle [/mm] x, y [mm] \rangle [/mm] ?
Kann ich es auch so zeigen?
p(x,y) [mm] \in \mathbb{C}[x,y]
[/mm]
[mm] p(x,y)=\sum_{m,n=0}^k a_{mn}x^m y^n
[/mm]
modulo [mm] \langle [/mm] x, y [mm] \rangle [/mm] haben wir dass x [mm] \equiv [/mm] 0 und y [mm] \equiv [/mm] 0
Also, [mm] p(x,y)=a_{00} \pmod {\langle x, y \rangle } \in \mathbb{C}
[/mm]
Ist es bisher richtig? Wie kann ich weiter machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 15.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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