Radikal von einem Ideal < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Mo 31.10.2016 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe | Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. J = [mm] (X^3+Y^3-1, [/mm] X-1) [mm] \subset [/mm] K[X,Y,Z] ein Ideal und f = [mm] X^2+Y^2-1 [/mm] ein Polynom.
a) Bestimme die Nullstellenmenge von J.
b) Liegt f im Radikal von J? Wenn ja: Gebe eine Potenz von f an, die in J liegt. |
Hallo liebe Matheraum-Community!
Ich soll folgende Aufgabe lösen. Zur Lösung von a) habe ich mir Folgendes überlegt:
V(J) = {p [mm] \in K^3 [/mm] | [mm] X^3+Y^3-1=0, [/mm] X-1=0, Z [mm] \in [/mm] K}
= {p [mm] \in K^3 [/mm] | [mm] X^3+Y^3-1=0, [/mm] X=1, Z [mm] \in [/mm] K}
= {p [mm] \in K^3 [/mm] | X=0, X=1, Z [mm] \in [/mm] K}
= {(0,1,z)} mit z [mm] \in [/mm] K.
Stimmt das so? Ich bin mir ziemlich unsicher beim Berechnen von Nullstellen von Idealen.
Zu b): Da K ein algebraisch abgeschlossener Ring ist, hat jedes nicht-konstante Polynom eine Nullstelle, das heißt jedes nicht-konstante Polynom zerfällt in Linearfaktoren.
Ich weiß allerdings nicht wie ich dieses f in Linearfaktoren zerlegen kann, damit ich sehe ob f im Radikal von J liegt.
Vielleicht hat einer von euch einen Tipp für mich wie ich diese Aufgabe lösen kann.
Liebe Grüße, MinLi
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Schönen Tag, MinLi!
Die Voraussetzung, dass $K$ algebraisch abgeschlossen sei, ist fehlleitend in dem Sinne, dass sie hierbei keine Verwendung findet.
Deine Lösung zu a) ist korrekt. Man kann sich auch zuerst klarmachen, dass [mm] $J=(Y^3,X-1)$ [/mm] gilt, und daher [mm] $\sqrt{J}=(Y,X-1)$. [/mm] Anschließend lässt sich [mm] $V(J)=V(\sqrt{J})$ [/mm] einfach ablesen; damit verschiebt man die Rechnung in die Vereinfachung von [mm] $\sqrt{J}$.
[/mm]
Hat man in a) bereits [mm] $\sqrt{J}$ [/mm] berechnet, so sieht man nun, dass [mm] $f=1^2+0^2-1=0\mod\sqrt{J}$ [/mm] gilt. Rechnen wir [mm] $\mod [/mm] J$, so ist [mm] $f=1^2+Y^2-1=Y^2$ [/mm] und daher [mm] $f^3=Y^6=0\mod [/mm] J$.
Mathematische Grüße
Die Salamanderprinzessin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Di 01.11.2016 | | Autor: | MinLi |
> Schönen Tag, MinLi!
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> Die Voraussetzung, dass [mm]K[/mm] algebraisch abgeschlossen sei,
> ist fehlleitend in dem Sinne, dass sie hierbei keine
> Verwendung findet.
>
> Deine Lösung zu a) ist korrekt. Man kann sich auch zuerst
> klarmachen, dass [mm]J=(Y^3,X-1)[/mm] gilt, und daher
> [mm]\sqrt{J}=(Y,X-1)[/mm]. Anschließend lässt sich
> [mm]V(J)=V(\sqrt{J})[/mm] einfach ablesen; damit verschiebt man die
> Rechnung in die Vereinfachung von [mm]\sqrt{J}[/mm].
>
Wie man aus diesem J [mm] \wurzel{J} [/mm] und V(J) berechnet kann ich nachvollziehen, allerdings ist mir nicht so ganz klar wieso [mm] J=(Y^3, [/mm] X-1) gilt. Wie kommt man auf dieses J?
> Hat man in a) bereits [mm]\sqrt{J}[/mm] berechnet, so sieht man nun,
> dass [mm]f=1^2+0^2-1=0\mod\sqrt{J}[/mm] gilt. Rechnen wir [mm]\mod J[/mm], so
> ist [mm]f=1^2+Y^2-1=Y^2[/mm] und daher [mm]f^3=Y^6=0\mod J[/mm].
>
Hier bei der b) verstehe ich auch nicht so richtig wieso wir jetzt modulo [mm] \wurzel{J} [/mm] und dann modulo J rechnen. Könntest du mir hier vielleicht noch einmal eine kleine Hilfestellung geben?
Liebe Grüße, MinLi
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Hallo!
> Wie man aus diesem J [mm]\wurzel{J}[/mm] und V(J) berechnet kann ich
> nachvollziehen, allerdings ist mir nicht so ganz klar wieso
> [mm]J=(Y^3,[/mm] X-1) gilt. Wie kommt man auf dieses J?
[mm] $\mod [/mm] X-1$ gilt ja $X=1$, also [mm] $X^3=1$, [/mm] also [mm] $X^3+Y^3-1=Y^3$.
[/mm]
> Hier bei der b) verstehe ich auch nicht so richtig wieso
> wir jetzt modulo [mm]\wurzel{J}[/mm] und dann modulo J rechnen.
> Könntest du mir hier vielleicht noch einmal eine kleine
> Hilfestellung geben?
>
Prüfen, ob etwas in [mm] $\sqrt{J}$ [/mm] liegt, heißt prüfen, ob es [mm] $\mod\sqrt{J}$ [/mm] verschwindet; prüfen ob etwas in $J$ liegt, heißt prüfen, ob es [mm] $\mod [/mm] J$ verschwindet.
Mathematische Grüße
Die Salamanderprinzessin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Mi 02.11.2016 | | Autor: | MinLi |
Da stand ich aber auf dem Schlauch.
Vielen Dank für deine Hilfe!
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