Radioaktiver Zerfall < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Sa 22.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
| Aufgabe | Eine Radioaktive Muttersubstanz mit Zerfallskonstante [mm] \beta_1 [/mm] >0 zerfällt in eine radioaktive Tochtersubstanz der Zerfallskonstante [mm] \beta_2 [/mm] >0 Die Anzahl der Atome von Mutter-bzw. Tochtersubstanz zur Zeit t bezeichnen wir mit [mm] N_1(t) [/mm] bzw. [mm] N_2(t). [/mm] Gilt [mm] N_1(0) =N_0 [/mm] >0 und [mm] N_2(0)=0, [/mm] so sagt die Physik, das sich die beiden Substanzen für [mm] t\ge [/mm] 0 gemäß
[mm] N_1(t)=N_0e^{-\beta_1t}, N_2(t)=\begin{cases} N_0\bruch{\beta_1}{\beta_2-\beta_1}(e^{-\beta_1t}-e^{-\beta_2t}), & \mbox{für } \beta_2\not=\beta_1 \mbox{} \\ N_0\beta_1te^{-\beta_1t}, & \mbox{für } \beta_2=\beta_1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
a) Sind die Funktionen [mm] N_1 [/mm] bzw. [mm] N_2 [/mm] beschränkt
b)gibt es Zeiten t>0 in denen gleichviele Atome von Tochter und Muttersubstanz vorhanden sind? Wenn ja, wann ist dies(in Abhängigkeit von den positiven Parametern [mm] \beta_2, \beta_1 [/mm] und [mm] N_0 [/mm] der Fall? |
Hallo,
ich sitze mal wieder leicht frustriert vor einer Übungsaufgabe. Normal schreibe ich hier ja immer einen Ansatz hin aber ich weiß nicht mal wo ich hier beginnen soll. Könnte mir vielleicht jemand einen kleine Starthilfe geben damit ich wenigstens in die richtige Richtung rechnen kann und das Problem verstehen kann.
Danke schonmal im voraus
Rzeta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Sa 22.11.2014 | | Autor: | notinX |
Hallo,
ich verstehe nicht genau, was Dir Probleme bereitet. Du hast Funktionen in expliziter Form gegeben und sollst sie auf Beschränktheit prüfen.
Falls Dir der Begriff der Beschränktheit nicht geläufig ist: http://de.wikipedia.org/wiki/Beschr%C3%A4nktheit
Einfach gesagt: Du sollst prüfen, ob es reelle Zahlen gibt die vom Funktionswert niemals über- und/oder unterschritten werden.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Sa 22.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Erstmal danke für die Antwort.
Vielleicht hätte ich die Frage etwas ausführlicher stellen sollen. Mir ist klar was mit Beschränktheit gemeint ist. Ich habe nur ein Problem damit das auf diese Funktion anzuwenden.
Laut unserem Skript konvergiert die Exponentialfunktion:
[mm] exp(z)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}
[/mm]
auf ganz [mm] \IC
[/mm]
Aus konvergenz folgt logischerweise auch Beschränktheit. Leider kann ich das ja jetzt hier nicht 1:1 so anwenden da meine Funktion ja im reelen und nicht im komplexen ist.
Hier ergiebt sich für mich schon die erste Frage. Wie kann es sein das die Funktion im komplexen konvergiert aber im reelen streng monoton wachsend ist?
Wenn ich mir jetzt die erste Funktion [mm] N_1(t)=N_0e^{-\beta_1t} [/mm] anschaue dann weiß ich ja laut Angabe das [mm] N_0 [/mm] >0 ist und die Funktion nach unten durch 0 beschränkt ist. Das würde physikalisch auch sinn machen weil ich ja keine negative Anzahl an Atomen haben kann. Mit der Beschränktheit nach oben bin ich mir nicht sicher.
Ist das bis hierhin halbwegs richtig oder ist das totaler blödsinn was ich hier schreibe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Sa 22.11.2014 | | Autor: | notinX |
> Laut unserem Skript konvergiert die Exponentialfunktion:
>
> [mm]exp(z)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}[/mm]
>
> auf ganz [mm]\IC[/mm]
>
> Aus konvergenz folgt logischerweise auch Beschränktheit.
> Leider kann ich das ja jetzt hier nicht 1:1 so anwenden da
> meine Funktion ja im reelen und nicht im komplexen ist.
>
> Hier ergiebt sich für mich schon die erste Frage. Wie kann
> es sein das die Funktion im komplexen konvergiert aber im
> reelen streng monoton wachsend ist?
Vielleicht kann man das auch irgendwie vernünftiger begründen, aber ist es denn so verwunderlich, dass Funktionen über verschiedenen Zahlenkörpern unterschiedliche Eigenschaften haben?
Die Funktion [mm] $f(x)=\sin(x)$ [/mm] hat z.B. in den rationalen Zahlen nur eine Nullstelle, in den reellen unendlich viele.
Die Gleichung [mm] $x^2+1=0$ [/mm] ist im rellen nicht lösbar, im komplexen schon.
-> Verschiedene Körper - verschiedene Eigenschaften
>
> Wenn ich mir jetzt die erste Funktion
> [mm]N_1(t)=N_0e^{-\beta_1t}[/mm] anschaue dann weiß ich ja laut
> Angabe das [mm]N_0[/mm] >0 ist und die Funktion nach unten durch 0
Genau.
> beschränkt ist. Das würde physikalisch auch sinn machen
> weil ich ja keine negative Anzahl an Atomen haben kann. Mit
> der Beschränktheit nach oben bin ich mir nicht sicher.
Wäre es vorstellbar, einen pool von unendlich vielen Atomen zu haben? Wohl eher nicht. Atome gibt es zwar ziemlich viele aber nach allem was wir heute wissen ist das Universum endlich und damit auch die Anzahl der Atome beschränkt.
Davon abgesehen: Es gibt eine endliche Ausgangsmenge [mm] $N_0$ [/mm] und diese Menge zerfällt mit der Zeit, wird also weniger - heißt also?
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Sa 22.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Also ist die Funktion duch [mm] N_0 [/mm] nach oben beschränkt.
Die Tochtersubstanz [mm] N_2(t) [/mm] muss ja dann durch [mm] N_1(t) [/mm] nach oben beschränkt sein da sich die Atome ja nicht auf einmal wieder vermehren und durch 0 nach unten da man ja wie schon vorher begründet keine negative Anzahl an Atomen haben kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Sa 22.11.2014 | | Autor: | notinX |
> Also ist die Funktion duch [mm]N_0[/mm] nach oben beschränkt.
Ja.
>
> Die Tochtersubstanz [mm]N_2(t)[/mm] muss ja dann durch [mm]N_1(t)[/mm] nach
Eine Schranke ist in diesem Fall eine reelle Zahl und keine Funktion.
> oben beschränkt sein da sich die Atome ja nicht auf einmal
> wieder vermehren und durch 0 nach unten da man ja wie schon
> vorher begründet keine negative Anzahl an Atomen haben
> kann.
>
>
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Sa 22.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Ich komm da irgendwie auf keine reele Zahl. Mein Gedankengang endet immer in der Antwort die ich oben gepostet habe.
Kurz zu b)
gibt es Zeiten t>0 in denen gleichviele Atome von Tochter und Muttersubstanz vorhanden sind? Wenn ja, wann ist dies(in Abhängigkeit von den positiven Parametern $ [mm] \beta_2, \beta_1 [/mm] $ und $ [mm] N_0) [/mm] $ der Fall?
Das gilt doch für alle t>0 wenn [mm] \beta_1=\beta_2=1 [/mm] ist oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Sa 22.11.2014 | | Autor: | notinX |
> Ich komm da irgendwie auf keine reele Zahl. Mein
> Gedankengang endet immer in der Antwort die ich oben
> gepostet habe.
Dann solltest Du Dir nochmal die Definition der Beschränktheit anschauen.
Es macht einfach keinen Sinn zu sagen, dass eine Funktion durch eine andere beschränkt ist. Eine Schranke ist ein einziger spezieller Wert, der von einer Funktion niemals über- oder unterschritten wird - das kann keine Funktion sein.
>
> Kurz zu b)
>
> gibt es Zeiten t>0 in denen gleichviele Atome von Tochter
> und Muttersubstanz vorhanden sind? Wenn ja, wann ist
> dies(in Abhängigkeit von den positiven Parametern [mm]\beta_2, \beta_1[/mm]
> und [mm]N_0)[/mm] der Fall?
>
> Das gilt doch für alle t>0 wenn [mm]\beta_1=\beta_2=1[/mm] ist
> oder?
Das kommt darauf an, ob in der Aufgabenstellung ein Tippfehler ist - soll da ein t vor der Exponentialfunktion stehen?
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 22.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Ja du hast natürlich recht. Ich hab das falsch abgeschrieben. Da steht noch ein t vor der exp funktion:
[mm] N_0\beta_1te^{-\beta_1t}
[/mm]
In dem Fall sind gleiche viele Atome in der Tochter/Muttersubstanz wenn t=1 und [mm] \beta_1=\beta_2=1
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Sa 22.11.2014 | | Autor: | notinX |
> Ja du hast natürlich recht. Ich hab das falsch
> abgeschrieben. Da steht noch ein t vor der exp funktion:
>
> [mm]N_0\beta_1te^{-\beta_1t}[/mm]
>
> In dem Fall sind gleiche viele Atome in der
> Tochter/Muttersubstanz wenn t=1 und [mm]\beta_1=\beta_2=1[/mm]
>
Ja, aber das ist nicht der einzige Zeitpunkt.
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 So 23.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Ich komme bei der Aufgabe auf keinen grünen Zweig. Vielleicht verstehe ich auch die Exponentialfunktion nicht richtig.
Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe
LG
Rzeta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 So 23.11.2014 | | Autor: | notinX |
> Ich komme bei der Aufgabe auf keinen grünen Zweig.
> Vielleicht verstehe ich auch die Exponentialfunktion nicht
> richtig.
Ich weiß nicht, wie man 'die Exponentialfunktion richtig verstehen' kann, aber es ist im Prinzip ganz einfach:
Löse die Gleichung: [mm] $N_1(t)=N_2(t)$
[/mm]
Das ist mit Mitteln der Schulmathematik locker zu lösen.
>
> Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe
>
> LG
>
> Rzeta
Gruß,
notinX
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Hallo,
betrachten wir das mal ganz ohne Mathematik - durch was ist ein Zerfallsprozess wohl nach unten beschränkt ? Kennst du Substanzen die zerfallen können wenn nichts mehr da ist was noch zerfallen kann ? ich nicht - also sind die mal alle nach unten durch 0 beschränkt - nach oben natürlich durch die Anfangsmenge [mm] N_{0}.
[/mm]
Durch was ist also [mm] N_{1}(t) [/mm] = [mm] N_{0}e^{-\beta_{1}t} [/mm] beschränkt?
Lg Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Sa 22.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Danke für deine Antwort!
Mir ist gleichzeitig zu deiner Antwort die Antwort eingefallen. Die funktion ist nach unten durch 0 und nach oben durch [mm] N_0 [/mm] beschränkt.
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> Danke für deine Antwort!
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> Mir ist gleichzeitig zu deiner Antwort die Antwort
> eingefallen. Die funktion ist nach unten durch 0 und nach
> oben durch [mm]N_0[/mm] beschränkt.
Richtig.
Lg
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