Radius berechnen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wie muss der Radius r des Kreises k um den Mittelpunkt M(3|2) gewählt werden, damit die Gerade g durch die Punkte A(4|9) und B(10|1)
a) eine Passante, b) eine Tangente, c) eine Sekante ist. |
Hallo, ich habe erstmal die Geradengleichung und die Kreisgleichung aufgestellt.
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4\\9} +s\vektor{6 \\-8}
[/mm]
k: [mm] (x-3)^{2} [/mm] + [mm] (y-2)^{2} [/mm] = r²
Aus der Geraden g folgt :
x = 4+6s
y = 9-8s
x und y in die Kreisgleichung einsetzen:
= [mm] (4+6s-3)^{2} [/mm] + [mm] (9-8s-2)^{2}
[/mm]
= (6s + [mm] 1)^{2}+ [/mm] (-8s + [mm] 7)^{2}
[/mm]
= [mm] 36s^{2}+12s+1+64s^{2}-56s-56s+49 [/mm] = [mm] r^{2}
[/mm]
[mm] 100s^{2} [/mm] - 100s + 50 = [mm] r^{2}
[/mm]
Wie soll ich jetzt vorgehen ?
Vielen Dank im Voraus
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Hilfreich bei solchen Aufgabe ist es sich eine Zeichung zu machen. Trage alle Punkte in ein Koordinatensystem ein. Überleg dir dann mal wie der Abstand vom Mittelpunkt zur Geraden und der Radius zusammen hängen.
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Eine Skizze hatte ich bereits, aber leider hilft mir das nicht weiter. Weiß leider garnicht mehr weiter.
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Hallo, aus den Punkten A und B folgt die Gerade [mm] y_1=-\bruch{4}{3}x+\bruch{43}{3} [/mm] jetzt benötigst du die dazu senkrechte Gerade, sie hat die Steigung [mm] \bruch{3}{4}, [/mm] du kennst noch M(3;2), daraus folgt [mm] y_2=\bruch{3}{4}x+n, [/mm] durch Einsetzen von M bekommst du [mm] n=-\bruch{1}{4}, [/mm] somit lautet die senkrechte Gerade [mm] y_2=\bruch{3}{4}x-\bruch{1}{4}, [/mm] bestimme den Schnittpunkt S beider Geraden, bestimme dann die Strecke [mm] \overline{MS}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
jetzt sollte es klick machen
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo, vielen Dank für die Antwort.
Hab soweit alles verstanden ,hab aber noch Fragen :
Warum braucht man die Senkrechte ? Ist das Zufall, dass die beiden senkrecht aufeinander stehen, oder ist das immer so ?
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Hallo, die Tangente an einen Kreis steht SENKRECHT auf dem Berührungsradius, Steffi
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Gilt dies auch für Passanten udn Sekanten ?
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Hallo
für r=5 ist die Gerade eine Tangente
für r>5 ist die Gerade eine Sekante
für r<5 ist die Gerade eine Passante
Steffi
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Hallo, danke.
Ich habe es auch rausbekommen, indem ich den Schnittpunkt und dann MS berechnet habe.
Jetzt die Frage:
Ist es immer so , also egal ob Passante, Tangente oder Sekante, dass die zwei Geraden immer senkrecht zueinander stehen?
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Hallo pc_doctor,
> Ich habe es auch rausbekommen, indem ich den Schnittpunkt
> und dann MS berechnet habe.
>
> Jetzt die Frage:
> Ist es immer so , also egal ob Passante, Tangente oder
> Sekante, dass die zwei Geraden immer senkrecht zueinander
> stehen?
Die Gerade hat nur eine Bedeutung für die Bestimmung eines Kreises, so dass die gegebene Gerade eine Tangente an den Kreis ist. Und dann steht die Gerade, die durch den Berührpunkt beider und durch den Kreismittelpunkt läuft, immer senkrecht auf der gegebenen. Überleg Dir mal selbst warum. So ist die Tangente sozusagen definiert...
Wenn, wie hier, die Gerade festliegt und der Radius variabel ist, folgt mit dem "Tangentenradius" R (also dem Kreisradius, bei dem Gerade und Kreis genau einen Berührpunkt haben) auch: [mm] rR\Rightarrow\text{Sekante}.
[/mm]
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Di 08.01.2013 | | Autor: | abakus |
> Wie muss der Radius r des Kreises k um den Mittelpunkt
> M(3|2) gewählt werden, damit die Gerade g durch die Punkte
> A(4|9) und B(10|1)
> a) eine Passante, b) eine Tangente, c) eine Sekante ist.
>
>
> Hallo, ich habe erstmal die Geradengleichung und die
> Kreisgleichung aufgestellt.
>
> g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{4\\
9} +s\vektor{6 \\
-8}[/mm]
> k: [mm](x-3)^{2}[/mm]
> + [mm](y-2)^{2}[/mm] = r²
>
> Aus der Geraden g folgt :
> x = 4+6s
> y = 9-8s
>
> x und y in die Kreisgleichung einsetzen:
> = [mm](4+6s-3)^{2}[/mm] + [mm](9-8s-2)^{2}[/mm]
> = (6s + [mm]1)^{2}+[/mm] (-8s + [mm]7)^{2}[/mm]
> = [mm]36s^{2}+12s+1+64s^{2}-56s-56s+49[/mm] = [mm]r^{2}[/mm]
>
> [mm]100s^{2}[/mm] - 100s + 50 = [mm]r^{2}[/mm]
>
> Wie soll ich jetzt vorgehen ?
Daraus folgt
[mm]100s^2-100s+(50-r^2)=0[/mm]
[mm]s^2-s+(0,5-0,01r^2)=0[/mm]
Löse das mit p-q-Formel.
Wenn die Diskriminante 0 ist, hast du genau eine Lösung, also eine Tangente.
Gruß Abakus
> Vielen Dank im Voraus
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Hallo , also:
[mm] -\bruch{-1}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{(\bruch{-1}{2})^{2}-(0,5-0,01)}
[/mm]
Ich bekomme einen Math Error, wenn ich das in den Taschenrechner eingebe. Aber wie soll das denn gehen ? Ich habe doch nur eine Gleichung, aber zwei Variablen, verstehe das irgendwie nicht.
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Hallo, wo ist denn deine [mm] r^2 [/mm] hin?
[mm] 0,5\pm\wurzel{0,25-(0,5-0,01r^2)}
[/mm]
[mm] =0,5\pm\wurzel{0,25-0,5+0,01r^2}
[/mm]
[mm] =0,5\pm\wurzel{-0,25+0,01r^2}
[/mm]
jetzt die Diskriminante gleich Null setzen
[mm] 0=-0,25+0,01r^2
[/mm]
[mm] 0,25=0,01r^2
[/mm]
[mm] r^2=25
[/mm]
Steffi
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