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Hi!
Da unsere Mathelehrerin normalen 13.2 Stoff zu langweilig findet, fangen wir jetzt mit komplexen Zahlen an. Letzte Stunde haben wir eine Möglichkeit zur Lösung der Gleichung [mm] z^{n}=a (z,a\in\IC) [/mm] nach z gefunden:
[mm] z^{n} [/mm] lässt sich als [mm] R(cos\alpha+i*sin\alpha) [/mm] mit [mm] R\in\IR_{0}^{+} [/mm] darstellen. Auch [mm] z\in\IC, [/mm] d.h. [mm] z=r(cos\mu+i*sin\mu).
[/mm]
Dann gilt [mm] R(cos\alpha+i*sin\alpha)=r^{n}(cos(n*\mu)+i*sin(n*\mu)).
[/mm]
Diese Gleichung gilt für [mm] R=r^{n} [/mm] und [mm] cos\alpha=cos(n*\mu) [/mm] und [mm] sin\alpha=sin(n*\mu).
[/mm]
Sie gilt also für [mm] r=\wurzel[n]{R} [/mm] und [mm] \mu_{k}=\bruch{\alpha}{n}+k*\bruch{360°}{n} (k\in\IN_{0}, [/mm] k<n)
also gilt: [mm] z_{k}=\wurzel[n]{R}(cos\mu_{k}+i*sin\mu_{k}) [/mm] mit [mm] \mu_{k}=\bruch{\alpha}{n}+k*\bruch{360°}{n} (k\in\IN_{0}, [/mm] k<n)
Jetzt frage ich mich allerdings, ob man so auch wirklich alle Lösungen bekommt..
[mm] R(cos\alpha+i*sin\alpha)=r^{n}(cos(n*\mu)+i*sin(n*\mu))
[/mm]
gilt doch vielleicht auch für allerlei andere Kombinationen als nur für [mm] R=r^{n} [/mm] und [mm] cos\alpha=cos(n*\mu) [/mm] und [mm] sin\alpha=sin(n*\mu)
[/mm]
in z.B. [mm] r^{n}*cos(n*\mu)=R*cos\alpha [/mm] und [mm] r^{n}*i*sin(n*\mu)=R*i*sin\alph [/mm] stecken doch potentiell noch andere Möglichkeiten. Warum müssen diese nicht berücksichtig werden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 So 13.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Erstmal Ja! Du hast alle Lösungen! mehr als n Wurzeln hat kein Polynom n-ten Grades, und es hat auch genau n Wurzeln.
Vielleicht siehst du das am Besten, wenn du es wieder potenzierst.
Ich kann nicht sehen, wo du potentiell andere Wurzeln vermutest.
Schon imm reellen ist es doch so , dass dir jemand sagt, die [mm] \wurzel{4} [/mm] hat die 2 Werte +2 und -2, du nicht fragst, woher ich weiss, dass es nicht noch irgend ne andere Zahl gibt deren Quadrat 4 ist.
Gruss leduart
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Das ist klar: [mm] "R(cos\alpha+i*sin\alpha)=r^{n}(cos(n*\mu)+i*sin(n*\mu))"
[/mm]
Mein Problem ist dieser Schluss:
"Diese Gleichung gilt für [mm] R=r^{n} [/mm] und [mm] cos\alpha=cos(n*\mu) [/mm] und [mm] sin\alpha=sin(n*\mu)"
[/mm]
Das mag ja sein, aber diese Gleichung könnte doch noch andere Lösungen haben. Gut, wenn ich beweisen kann, dass kein Polynom n-ten Grades mehr als n Wurzeln hat, hätte sich das natürlich erledigt.
Aber wie lässt sich das beweisen? Dafür müsste ich wieder davon ausgehen, dass die obige Gleichung wirklich nur diese Lösungen hat.
Denn wenn
[mm] z_{k}=\wurzel[n]{R}(cos\mu_{k}+i*sin\mu_{k}) [/mm] mit [mm] \mu_{k}=\bruch{\alpha}{n}+k*\bruch{360°}{n} (k\in\IN_{0}, [/mm] k<n)
die einzigen Lösungen aufzeigt, ist es natürlich klar, dass es max. n Lösungen geben kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 So 13.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich vereinfach das Problem mal, auf eine komplexe Zahl mit Betrag 1, die also auf dem Einheitskreis um 0 liegt. ( dass die Länge von [mm] \wurzel[n]{R*(cos\phi+isin\phi)} \wurzel[n]{R}ist [/mm] bezweifelst du ja nicht.
jetzt nimmst du einen Punkt auf dem Einheitskreis, Winkel [mm] \mu [/mm] also [mm] z=cos\mu+isin\mu, [/mm] wenn du den hoch n nimmst kommst du beim Winkel [mm] n*\mu [/mm] an.
wenn du zu [mm] \mu [/mm] noch [mm] 2\pi/n [/mm] oder 4pi/n oder [mm] k*2\pi/n [/mm] addierst, und wieder hoch n nimmst kommst du beim selben Wert, nämlich [mm] n*\mu+k*2\pi [/mm] a<n, was dasselbe ist wie [mm] n*\mu.
[/mm]
Wenn du mit irgendeinem anderen Winkel anfängst ausser diesen n verschiedenen, kommst du nicht bei [mm] n*\mu [/mm] an. deshalb kann auch kein anderer umgekehrt die n.te Wurzel aus [mm] n*\mu+k*2\pi [/mm] sein.
nimm an du hast noch nen anderen Winkel [mm] \beta\ne\mu
[/mm]
dann ist [mm] n*\beta\ne n*\mu.
[/mm]
ersetze überall [mm] n*\mu [/mm] durch [mm] \alpha [/mm] bzw. [mm] \mu [/mm] durch [mm] \alpha/n [/mm] und du hast klar, dass es nur di n Werte gibt.
Gruss leduart.
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Ok, jetzt weiß ich auf jeden Fall, dass alle komplexen Zahlen, die sich darstellen lassen als [mm] 1*(cos\alpha+i*sin\alpha) [/mm] genau n Wurzeln haben. Vielen Dank für den Beweis!
Was aber mit komplexen Zahlen, die nicht auf dem Einheitskreis liegen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 So 13.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die anderen komplexen Zahlen haben doch nur ne andere Länge (Betrag) und dass sich die Beträge beim Multipl. auch multipl. also |z1*z2|=|z1|*|z2| ist doch klar, dass du jede Zahl z als reelle Zahl mal einer kompl. Zahl auf dem Einheitskreis sehen kannst. und wenn man die n-te Wurzel zieht wird eben aus der Länge die n-te Wurzel der Länge. genau wie beim Potenzieren die nte Potenz der Länge entsteht.
Gruss leduart
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Hm, ich verstehe. Aber sagen wir mal z ist eine komplexe Zahl auf dem Einheitskreis. Dann ist a eine komplexe Zahl außerhalb des Einheitskreises, wenn gilt:
a = 3*z
[mm] \wurzel[n]{a} [/mm] lässt sich schreiben als [mm] \wurzel[n]{3}*\wurzel[n]{z} [/mm] und wir wissen, dass [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] genau n Lösungen hat in [mm] \IC.
[/mm]
Nur hat ja [mm] \wurzel[n]{3} [/mm] auch mehrere Lösungen. Also kann [mm] \wurzel[n]{3}*\wurzel[n]{z} [/mm] doch mehr als n Lösungen haben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 So 13.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die n_te Wurzel aus der reellen Zahl 3 hat nicht mehrere reelle, positive n-te Wurzeln, sondern nur genau eine. und [mm] \wurzel[n]{3} [/mm] war doch die Länge der gesuchten Zahl, also positiv.
(um sicher zu gehen: die nte Wurzel aus der komplexen Zahl 3, z=3(cos0° +isin0°) hat natürlich n Werte [mm] z_k=\wurzel[n]{3}*(cos0+k*360/n)+isin(0+k*360/n))
[/mm]
Gruss leduart.
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Hm, woher wissen wir denn, dass [mm] \wurzel[n]{3} [/mm] die Länge der n-ten Wurzel von a ist? Wir wissen doch eigentlich nur, dass a die Länge drei hat?
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Du weißt wahrscheinlich, dass man komplexe Zahlen als Zeiger im Koordinatensystem darstellen kann: Der Zeiger, der zu a + b*i gehört (a, b reell), zeigt vom Ursprung zum Punkt (a|b) in der komplexen x-y-Ebene (x-Achse reell, y-Achse imaginär).
Das Produkt z zweier komplexer Zahlen r und s hat nun folgendes Zeigerbild:
Seine Länge ist |z| = |r|*|s|,
sein Winkel zur positiven reellen x-Achse ist die Summe der Winkel, die r bzw. s zur positiven reellen x-Achse haben. Dies lässt sich algebraisch beweisen.
Daraus ergibt sich alles weitere.
Beispiel: Wie sieht [mm] \wurzel[5]{3i} [/mm] aus.
3i hat die Länge 3 und den Winkel 90° zur pos. x-Achse. Du suchst somit einen Pfeil, dessen Länge 5 mal mit sich multipliziert 3 ergibt und dessen Winkel - 5 mal hintereinander - 90 ° ergibt.
Für die Länge kommt nur [mm] \wurzel[5]{3} [/mm] in Frage, denn der Wert muss (als Länge) positiv sein und 5 mal mit sich mult. 3 ergeben.
Als Winkel kommt zunächst 90°/5 = 18° in Frage. Es kommt aber auch jeder Winkel in Frage, der 5 mal hintereinandergelegt 90°+360°, 90°+720° usw. ergibt, da der Zeiger dann wieder auf 3i zeigt. Das gibt die Winkel
18°+72°, 18°+144°, 18°+216°, 18°+288°, 18°+360° entspricht wieder 18° usw., jetzt wiederholt sich alles nur noch.
Somit hast du für die Winkel letzlich 5 verschiedene Lösungen, für die Länge nur eine.
Rechnet man die Koordinaten des Lösungspfeiles mit Hilfe des entsprechenden Winkels wieder in x-y-Werte um, ergibt sich: x = Länge*cos(Winkel) und y=Länge*sin(winkel), also
z = [mm] \wurzel[5]{3} [/mm] (cos(18°)+i*sin(18°)) usw. entsprechend mit den anderen Winkeln.
Wenn du diese geometrische Vorstellung im Kopf hast, wird dir klar, dass es keine anderen Lösungen mehr geben kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Bit2_Gosu |
super, jetzt hab ich alles kapiert!
Vielen Dank für eure Ausdauer und Mühe, besonders an leduart ;)
Man muss sich wirklich erst mal reindenken in die komplexen zahlen.
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