Rätsel: harmonischen Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mo 22.11.2004 | | Autor: | praetorA |
Bei nun folgendem Rätsel habe ich arge Probleme, zu einer Lösung zu kommen:
Du triffst im Wald eine Fee die dir folgenden Text aufsagt:
"Wie du sicher weisst, divergiert die harmonische Reihe gegen unendlich.
Du kannst nun zwischen 2 Geschenken wählen:
1. Du sagst mir eine natürliche Zahl N, und ich summiere die ersten N Glieder der harmonischen Reihe. Dabei lasse ich ein Glied 1/n aber immer dann weg,
wenn die Zahl n eine 0 beinhaltet (also z.b. 1/10, 1/20 ... 1/100,1/101...).
Du erhältst das Ergebnis dieser Rechnung in Euro.
2. Du erhältst eine Villa in Südspanien.
Völlig verwirrt entscheidest du dich für die Villa. (sichere Sache!)
Als du dann später auf der Terasse der Villa sitzt und dein Diener dir den Cognac bringt, überkommt dich der Gedanke, dass du vielleicht die Chance
verpasst hast, der reichste Mensch auf Erden zu werden .... ?
Natürlich, es geht darum, zu zeigen, dass diese "Feensumme" auch divergiert gegen unendlich. Dann hätte man tatsächliche eine Chance verpasst!
Meine Vermutung ist natürlich, dass die Feensumme tatsächlich divergiert.
Man müsste also zeigen, dass bereits Teile dieser Feensumme, die nach einem bestimmten System gewählt werden, divergieren. Leider ist mir die richtige Auswahl bisher nicht geglückt.
Folgendes habe ich schon probiert (allerdings eben ohne Erfolg)
* Abschätzung der Übrigbleibenden Glieder über eine unendliche Anzahl
von geometrischen Reihen.
Fehlschlag weil: Es bleibt die Summe über alle 1/(p-1) p Prim - und damit kann man nichts anfangen.
* Abschätzung der Weggelassenen Glieder über 9/10 * Harmonische Reihe
Fehlschlag weil: stimmt vielleicht sogar, aber nicht schlüssig beweisbar.
(d.h. ich konnte es nicht)
* Abschätzung der Übrigbleibenden Glieder über 1/1 + 1/11 + 1/111 + ... + 1/2 + 1/22 + 1/222 + .... + 1/9 + ....
und der Versuch beliebig viele Päckchen zu >= 1 zu bilden.
Fehlschlag weil: wurde nur geometrische Reihe.
Jetzt hat mich die Kreativität verlassen.
Vielleicht kann ja jemand helfen! :)
Liebe Grüße und Dank im Vorraus,
praetorA
Disclaimer: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe(r) praetorA
eine ganz ähnliche Aufgabe wurde schon einmal gestellt. Ich weiss es nicht, aber vielleicht kann dir das Studium dieses Diskussionsstrangs weiterhelfen:
https://matheraum.de/read?i=6702
Falls nicht, dann meldest du dich einfach wieder!
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mo 22.11.2004 | | Autor: | praetorA |
Freut mich dass du auch Schach spielst, hihi :)
Soweit ich das verstanden habe, sollte der Beweis für meine Aufgabe ja genau gleich funktionieren.
nur habe ich den vorletzten Rechenschritt nicht verstanden.
wie kommt der auf [mm] 9^{n-1}*8 [/mm] ?
Schön und gut und praktikabel, aber die umformung ist mir nicht klar.
Wär toll, wenn du (ihr) nachhelfen könntet!
Liebe Grüße, Praetor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Lieber praetor
ich bin mir nicht sicher, ob alle Exponenten in der angegebenen Lösung stimmen. Prüfe das bitte selber nach.
Zu deiner Frage nur soviel:
Setze zur Untersuchung der Sachlage doch einmal ein p fix, z.B. p=3.
Dann ist die (genaue) Summe:
$ [mm] \bruch{1}{100}+\bruch{1}{101}+...\bruch{1}{190}+\bruch{1}{191}+\bruch{1}{192}+\bruch{1}{193}+...+\bruch{1}{198}+\bruch{1}{199}+$
[/mm]
$ [mm] \bruch{1}{200}+\bruch{1}{201}+...\bruch{1}{290}+\bruch{1}{291}+\bruch{1}{292}+\bruch{1}{293}+...+\bruch{1}{298}+\bruch{1}{299}+$
[/mm]
...
...
$ [mm] \bruch{1}{900}+\bruch{1}{901}+...\bruch{1}{990}+\bruch{1}{991}+\bruch{1}{992}+\bruch{1}{993}+...+\bruch{1}{998}+\bruch{1}{999}$
[/mm]
Das scheinen mir 9 Zeilen mit je 100 Brüchen zu sein.
Welche fallen jetzt weg?
Zum einen der Zehntel auf der rechten Seite (.90 bis .99), so dass noch
[mm] $9*100*\bruch{9}{10}$ [/mm] übrig bleiben.
Von den Verbliebenen werden noch die .09, .19, .29,...,.89 weggestrichen, das ist ein Neuntel des Verbliebenen, es bleiben also noch
[mm] $9*100*\bruch{9}{10}*\bruch{8}{9}$
[/mm]
Insgesamt bleiben also [mm] $100*8*\bruch{9}{10}$ [/mm] aller Zahlen übrig.
Wenn man nun noch alle Nenner auf den Wert 100 setzt, dann bleibt für die Summe aller Brüche [mm] $8*\bruch{9}{10}$
[/mm]
So in der Art sollte das wohl herzuleiten sein!
So sollte eine Formel für alle fix gewählten p eruierbar sein, die dann etwa so wie in der angegebenen Lösung sein sollten.
Das müsste so mit allen Ziffern klappen!
Die Frage, warum die harmonische Reihe insgesamt dann aber doch divergiert, wenn doch bei jeder ausgewählten Ziffer eine endliche Summe entsteht, zu beantworten, überlassse ich dir als Denksportaufgabe! 
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Di 23.11.2004 | | Autor: | praetorA |
Perfekt.
Vielen Dank!
Ich hatte inzwischen eine ähnliche Idee bin aber auf [mm] 9^j [/mm] Summanden gekommen.
Nach dem Prinzip "Darfs ein bisserl mehr sein" klappt der Beweis natürlich auch damit. Deine exakte Aufstellung war trotzdem sehr hilfreich.
Liebe Grüße,
Praetor
|
|
|
|
