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| Aufgabe | Berechnen Sie den geometrischen Schwerpunkt der Viertelkugel x²+y²+z² [mm] \le [/mm] 1
für y,z [mm] \ge [/mm] 0. |
Ahoi Matheraum,
Ich weis, ganz schlecht ohne eigenen Ansatz, aber ich hab auch keinen. Ich bräuchte mal n paar Tips womit ich langsam loslaufen kann um das Problem zu lösen.
Liebe Grüße zaaaaaaaq
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Du schonwieder...
Nun, da dies eine Kugel ist, liegt es natürlich nahe, das ganze in Kugelkoordinaten zu rechnen, und da dies nun 3D ist, ist das ein Dreifachintegral.
Erstmal führts du Kugelkoordinaten ein:
[mm] $x=r\sin \theta [/mm] sin [mm] \phi$
[/mm]
[mm] $y=r\sin \theta [/mm] cos [mm] \phi$
[/mm]
[mm] $z=r\cos \theta [/mm] $
Dabei ist generell erstmal $0 [mm] \le \phi \le 2\pi$ [/mm] und $0 [mm] \le \theta \le \pi$
[/mm]
Wenn du in Kugelkoordinaten integrieren willst, kommt da noch zusätzlich ein Faktor [mm] $r*\sin \theta$ [/mm] mit ins Integral (bei deinen Zylinderkoordinaten wars nur ein Faktor r)
Das Integral ist somit generell erstmal [mm] $\integral \integral \integral r*\sin \theta drd\phi d\theta$ [/mm] in den o.g. Koordinaten
Wie du die Winkel wählen mußt, damit du nur über deine Viertelkugel integrierst, das bekommst du doch sicherlich hin, oder?
Jetzt der Schwerpunkt. Generell berechnet man den Schwepunkt in x-Richtung aus [mm] \bruch{\integral \integral \integral xdxdydz}{\integral \integral \integral dxdydz}, [/mm] und die Schwerpunkte in den anderen Richtungen dementsprechend. Statt x mußt du in Kugelkoordinaten natürlich [mm] $x=r\sin \theta [/mm] sin [mm] \phi$ [/mm] in das Integral einsetzen.
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