Rand, Inneres, Abschluß < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Di 07.02.2006 | | Autor: | elena27 |
| Aufgabe | Finden Sie eie Teilmenge A des metrischen Raumes [mm] (\IR,d), [/mm] d Betragsmetrik, mit
1. A [mm] \not=\emptyset, \partial A=\emptyset [/mm] ;
2. A unbeschränkt, abgeschlossen, int (A)= [mm] \emptyset [/mm] |
Könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabehelfen? Ich komme alleine leider nicht zu Recht.
Zu 1. habe ich gedacht würdet [mm] \IR [/mm] passen, da [mm] \IR=int \IR= [/mm] Abschluß von [mm] \IR
[/mm]
Mit 2. bin ich überhaupt nicht sicher:A= [0, [mm] \infty) [/mm] ist abgeschlossen und unbeschränkt, wenn wir diesen Intervall noch auf [mm] \IQ [/mm] definieren (also [0, infty) [mm] |\IQ) [/mm] , dann wäre int A= [mm] \emptyset [/mm] ?
Ich würde mich sehr sehr freuen, wenn mir jemand ein Tipp gibt.
Bin im voraus sehr dankbar.
Elena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Di 07.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> Könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabehelfen? Ich
> komme alleine leider nicht zu Recht.
Das glaube ich dir eher nicht  (denn eine ist ja richtig!)
> Zu 1. habe ich gedacht würdet [mm]\IR[/mm] passen, da [mm]\IR=int \IR=[/mm]
> Abschluß von [mm]\IR[/mm]
Ja, denn der Rand ist ja der Abschluß ohne das Innere.
> Mit 2. bin ich überhaupt nicht sicher:A= [0, [mm]\infty)[/mm] ist
> abgeschlossen und unbeschränkt, wenn wir diesen Intervall
> noch auf [mm]\IQ[/mm] definieren (also [0, infty) [mm]|\IQ)[/mm] ,
Hier willst du mit [m]\IQ[/m] schneiden, oder?
> dann
> wäre int A= [mm]\emptyset[/mm] ?
... blos nicht mehr abgeschlossen. Aber wenn du schon [m]\IQ[/m] in Betracht ziehst - was gibt es denn noch so für "Zahlemengen"? Am besten wäre doch viele, isolierte Punkte. Denk mal drüber nach, das schaffst du schon.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Di 07.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Vielen vielen Dank für Deine schnelle Antwort
Ich habe folgendes überlegt:
Einpunktige Menge {x} (x aus [mm] \IR) [/mm] ist abgeschlossen und hat leeres Inneres.
Eine endliche Vereinigung von einpunktigen Mengen ist auch abgeschlossen.
Also man sollte noch aus einpunktigen Menge eine unbeschränkte Menge machen..... genau da sitze ich fest :-(
Vielleicht noch einen kleinen Tipp?
Danke, danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Di 07.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> Vielleicht noch einen kleinen Tipp?
[m]\IZ[/m]
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Di 07.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Ich verstehe leider doch nicht ganz.
Bedeutet das:
[mm] \IZ [/mm] ist eine endliche Vereinigung von einpuktigen Menge, die abgeschlossen sind und leere Inneres haben, deswegen ist auch [mm] \IZ [/mm] abgeschlossen und hat leeres Inneres ? Unbeschränkt, da [mm] \IZ [/mm] unbeschränkt ist?
Danke für Deine Hilfe.
Elena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Di 07.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\IZ[/mm] ist eine endliche Vereinigung von einpuktigen Menge,
Nö, bei unbeschränkten Mengen wird das auch eher schwierig seinmit endlich vielenm auszukommen ...
> die abgeschlossen sind und leere Inneres haben, deswegen
> ist auch [mm]\IZ[/mm] abgeschlossen und hat leeres Inneres ?
Nö, so meinte ich das nicht. Aber es ist halt ein Beispiel - warum es abg. ist und leeres Inneres hat, sollttest du zunächst versuchen, dir selbst zu überlegen.
> Unbeschränkt, da [mm]\IZ[/mm] unbeschränkt ist?
Äh, ja. das war jetzt tautologisch, oder?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Di 07.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Ok,
[mm] \IZ [/mm] ist abgeschlossen, da [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IZ [/mm] offen ist (da jede Umgebung einer x aus [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IZ [/mm] nur reele und keine ganze Zahlen ethält, also liegt in [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IZ);
[/mm]
Da der Abschluß von einem einpunktigem Menge die Menge selber ist, ist
[mm] \partial\IZ [/mm] = [mm] \IZ, [/mm] also int [mm] \IZ [/mm] = [mm] \IZ [/mm] \ [mm] \IZ [/mm] = [mm] \emptyset.
[/mm]
Gilt dasselbe auch für [mm] \IN [/mm] ?
Nochmal vielen Dank für Deine schnelle Antworte.
Elena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Mi 08.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\IZ[/mm] ist abgeschlossen, da [mm]\IR[/mm] \ [mm]\IZ[/mm] offen ist (da jede
> Umgebung einer x aus [mm]\IR[/mm] \ [mm]\IZ[/mm] nur reele und keine ganze
> Zahlen ethält
Ähh ,nee, so nicht. Es gibt schon Umgebuingen, die ganze Zahlen enthalten - aber (zeichne es dir mal auf) es gibt hinreichend kleine, die keine ganzen Zahlen beinhalten. Gebe dir ein x beliebig vor - welche Umgebung trifft dann [m]\IZ[/m] nicht?
> Da der Abschluß von einem einpunktigem Menge die Menge
> selber ist,
[m]\IZ[/m] ist aber nicht einpunktig ... der Abschluß einer abgeschlossenen Menge ist abgeschlossen.
Aber warum ist jetzt das Innere leer? Das ist zwar eher offensichtlich, aber ne kleine Begründung wär schon gut.
> Gilt dasselbe auch für [mm]\IN[/mm] ?
Ja.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mi 08.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo!Ich meinte mit dem Rand von [mm] \IZ [/mm] folgendes:
Da [mm] \IZ= [/mm] .....{-1} [mm] \cup [/mm] {0} [mm] \cup [/mm] {1} [mm] \cup [/mm] {2}......
Also ist [mm] \partial\IZ [/mm] = [mm] \IZ [/mm] . Oder?
Also ist int [mm] \IZ [/mm] = [mm] \IZ [/mm] \ [mm] \partial\IZ [/mm] = leer
Danke für Deine schnelle Antwort.
Elena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Do 09.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> Hallo!Ich meinte mit dem Rand von [mm]\IZ[/mm] folgendes:
> Da [mm]\IZ=[/mm] .....{-1} [mm]\cup[/mm] {0} [mm]\cup[/mm] {1} [mm]\cup[/mm] {2}......
> Also ist [mm]\partial\IZ[/mm] = [mm]\IZ[/mm] . Oder?
Ja - aber das musst du doch beweisen! Was ist die definiton vom Rand? Bzw. äquivalente Umformulierungen?
> Also ist int [mm]\IZ[/mm] = [mm]\IZ[/mm] \ [mm]\partial\IZ[/mm] = leer
Ja, wenn du obiges bewiesen hast.
> Danke für Deine schnelle Antwort.
Jetzt hab ich mir aber Zeit gelassen. 
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Fr 10.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo,
ich möchte mich bei Dir viel viel mal für Deine Hilfe bedanken.
Mit dem Beweis hat es auch geklappt
Danke, danke.
Viele Grüße
Elena
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