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| Aufgabe | Welche Mengen sind abgeschlossen?
[mm] A:=\{(a,b) \in \IR^{2} : a=0 \}
[/mm]
[mm] B:=\{(a,b) \in \IR^{2} : a>0 , b=sin(\bruch{1}{a}) \} [/mm] |
Hallo mal wieder :)
Erstmal steht nicht bei der Aufgabe, welche Metrik ich nutzen soll, ich gehe also davon aus, dass es die euklidische Metrik ist.
Ich behaupte A ist abgeschlossen.
Annahme A wäre offen.
Sei [mm] (a,b)\in \IR^{2} [/mm] Sei [mm] \epsilon [/mm] >0. Setze (x,y):=(b,0)
Dann gilt: [mm] d((a,b),(x,y))=|\wurzel{a^{2}+b^{2}}-\wurzel{x^{2}+y^{2}}|=|\wurzel{0+b^{2}}-\wurzel{b^{2}+0}|=|b-b|=0 [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Also ist (b,0) in der jeder [mm] \epsilon [/mm] -Umgebung von (a,b)
Aber für b [mm] \not= [/mm] 0 nicht in A
Widerspruch.
Also ist A abgeschlossen.
So korrekt?
Zu B weiss ich noch nichts, vielleicht ein kleiner Tipp?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Mi 09.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Welche Mengen sind abgeschlossen?
>
> [mm]A:=\{(a,b) \in \IR^{2} : a=0 \}[/mm]
> [mm]B:=\{(a,b) \in \IR^{2} : a>0 , b=sin(\bruch{1}{a}) \}[/mm]
>
> Hallo mal wieder :)
>
> Erstmal steht nicht bei der Aufgabe, welche Metrik ich
> nutzen soll, ich gehe also davon aus, dass es die
> euklidische Metrik ist.
Das kannst Du
>
> Ich behaupte A ist abgeschlossen.
Korrekt
> Annahme A wäre offen.
vorsicht, das ist nicht korrekt ! Eine nicht abeschlossene Menge muß nicht offen sein !!
so kannst Du also keinen Widerspruchsbeweis machen
> Sei [mm](a,b)\in \IR^{2}[/mm] Sei [mm]\epsilon[/mm] >0. Setze (x,y):=(b,0)
>
> Dann gilt:
> [mm]d((a,b),(x,y))=|\wurzel{a^{2}+b^{2}}-\wurzel{x^{2}+y^{2}}|=|\wurzel{0+b^{2}}-\wurzel{b^{2}+0}|=|b-b|=0[/mm]
> < [mm]\epsilon.[/mm]
Unfug !!! [mm] d((a,b),(x,y))=\wurzel{(a-x)^2+(b-y)^2}
[/mm]
>
> Also ist (b,0) in der jeder [mm]\epsilon[/mm] -Umgebung von (a,b)
> Aber für b [mm]\not=[/mm] 0 nicht in A
> Widerspruch.
> Also ist A abgeschlossen.
>
> So korrekt?
Nein. s.o.
>
> Zu B weiss ich noch nichts, vielleicht ein kleiner Tipp?
Setze [mm] a_n:= \bruch{1}{n \pi} [/mm] und [mm] b_n:= sin(1/a_n)
[/mm]
Dann ist die Folge [mm] ((a_n,b_n)) [/mm] eine Folge in B. Zeige , dass diese Folge konvergiert, ihr Limes aber nicht zu B gehört.
Damit ist B nicht abgeschlossen
FRED
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Oha,
da habe ich Bockmist verzapft.
Ich danke dir!
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So, nach nem Kaffee gehts weiter :)
Beh. ist weiterhin A ist abgeschlossen. Also ist [mm] A^{c} [/mm] offen.
Sei (a,b) [mm] \in \IR^{2}. [/mm] D.g. [mm] a\not=0.
[/mm]
Setze [mm] \epsilon^{2} :=a^{2}+y^{2}+b^{2}-2by
[/mm]
Sei (x,y) [mm] \in B_{\epsilon}((a,b))
[/mm]
zz.: (x,y) [mm] \in A^{c}.
[/mm]
Es genügt zu zeigen [mm] x\not=0
[/mm]
Es gilt: [mm] d((a,b),(x,y))=\wurzel{(a-x)^2+(b-y)^2}=\wurzel{a^{2}-2ax+x^{2}+b^{2}-2by+y^{2}}<\epsilon
[/mm]
durch umformen ist dies auf x(x-2a)<0 zu bringen.
[mm] \Rightarrow x\not=0
[/mm]
Ich hoffe nun bin ich auf dem richtigen Wege :/
B ist einfach einfach dank dem Tipp :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Mi 09.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> So, nach nem Kaffee gehts weiter :)
>
> Beh. ist weiterhin A ist abgeschlossen. Also ist [mm]A^{c}[/mm]
> offen.
> Sei (a,b) [mm]\in \IR^{2}.[/mm]
Meinst Du (a,b) [mm]\in A^c.[/mm] ?
> D.g. [mm]a\not=0.[/mm]
> Setze [mm]\epsilon^{2} :=a^{2}+y^{2}+b^{2}-2by[/mm]
Was ist hier x, y ????
> Sei (x,y) [mm]\in B_{\epsilon}((a,b))[/mm]
Nein so kannst Du das nicht machen !!!
Mach Dir doch mal ein Bild ! Sei (a,b) [mm] \in A^c. [/mm] Dann ist |a|>0 . Setze [mm] \epsilon:= [/mm] |a|/2
Zeige: [mm] B_{\epsilon}((a,b)) \subseteq A^c
[/mm]
FRED
>
> zz.: (x,y) [mm]\in A^{c}.[/mm]
>
> Es genügt zu zeigen [mm]x\not=0[/mm]
>
> Es gilt:
> [mm]d((a,b),(x,y))=\wurzel{(a-x)^2+(b-y)^2}=\wurzel{a^{2}-2ax+x^{2}+b^{2}-2by+y^{2}}<\epsilon[/mm]
>
> durch umformen ist dies auf x(x-2a)<0 zu bringen.
> [mm]\Rightarrow x\not=0[/mm]
>
> Ich hoffe nun bin ich auf dem richtigen Wege :/
>
> B ist einfach einfach dank dem Tipp :)
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