Randextrema < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr Lieben! Ich habe mal wieder eine dringende Frage zu dem Thema Extremwertaufgaben. Ich schreibe am Montag meine erste Matheklausur und bin jetzt dabei zu lernen. Leider komme ich bei der Bestimmung der Randwerte nicht weiter. Kann mir vielleicht jemand erklären wozu man die überhaupt bestimmt und wie das geht? Ich verstehe das überhaupt nciht und wälze schon ganz viele Mathebücher, verstehe das aber einfach cniht. Wäre echt lieb, wenn ihr mir helfen könnten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:07 Sa 26.09.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo,
hast Du mal eine Beispielaufgabe? Dann ist es leichter...
LG,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Sa 26.09.2009 | | Autor: | gabi.meire |
also eine direkte beispielaufgabe habe ich nicht. ich könnte allerdings noch einmal suchen. meine frage ist aber auch eher so allgemein gedacht, wozu man überhaupt randextremwerte berechnet und dann wie. vielleicht kannst du ja schon einmal auf diese rage antworten und ich suche in der zeit ein beispiel
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hier eine aufgabe:
ein rechteck habe den umfang 12cm. wie lang sind die rechteckseiten zu wählen, damit das rechteck maximalen flächeninhalt hat? (dabei bitte die randextremwerte berchnen)
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în diesem zusammenhanh ist mir vollkommen unklar, was mit randextremwerten gemeint ist und wie man sie berechnet. bitte bitte helft mir...:)
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Hallo,
Randwerte sind diejenigen Funktionswerte, die an Intervallrändern angenommen werden. Stellen mit lokalen Maxima/Minima sind Extremwerte, dort wo die Ableitung der Funktion null wird (das sag ich jetzt einfach prophylaktisch).
Die Randwerte muss man ebenfalls betrachten, da auch unbeschränkte Funktionen Extremstellen haben können.
Im Dateianhang 1 (Beispiel [mm] f=(x-3)^3-x^2+24) [/mm] ist die Extremstelle das gesuchte Maximum, im Dateianhang 2 ist es der rechte Randwert.
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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danke schon einmal für deine mühe, aber wie genau berechne ich denn die randextrema?
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Wenn du ein gegebenes Intervall hast [a,b] setzt du in die Funktion a und b ein. Die Werte a und b sind in Sachaufgaben stark von der jeweiligen Aufgabenstellung abhängig. z.B. Du hast ein Stück Mauer, 100m und hast 50m Zaun, und du sollst die höchstmögliche Fläche einzäunen, wieviel Mauer verwendest du? Du kannst höchstens 50m oder 0 m Mauer verwenden.
A=x*y, in beiden Fällen ist eine Seite null, daher die Fläche null (hätte aber auch anders sein können).
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also habe ich bei solchen extremwertaufgaben immer als definitionsbereich einmal 0 und als zweites die zahl, die gegeben ist. bei der folgenden aufgabe z.B
ein rechteck hat den umfang 12cm. wie lang sind die rechteckseiten zu wählen, damit das rechteck maximalen flächeninhalt hat?
d.h. in diesem fall wäre der das randextremum für a=0 und für b=12 oder wie ist das zu verstehen?
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genau, bloß dass jetzt mit a und b die gleiche Seite gemeint ist, je nachdem wie lang du sie wählst (falls du das meinst).
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irgendwie haben wir das in der schule aber immer ausgerechnet. wie schreibt man so etwas denn dann auf? man setzt dann ja a und b für f(x) ein und dann erinnere ich mich nich an solche > < Zeichen. Kannst du mir vielleicht einmal so einen rechenweg aufschreiben?
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(mal sehen ob ich was verwechsle)
Hauptbedingung: u=konst=2(x+y)=12, x,y>0
Nebenbedingung A=max!=x*y
x+y=6
y=6-x, y>0, 6-x>0 [mm] \rightarrow [/mm] x<6, x>0
[mm] \rightarrow [/mm] 0<x<6
A=x*y, A=x*(6-x)
[mm] A_{x_{min}}=0*6=0
[/mm]
[mm] A_{x_{max}}=6*0=0
[/mm]
A'(x)=6-2x=0
x=3
A''(x)=-2<0, A(3)=9 [mm] \rightarrow [/mm] Max(3,9)
A(3)>A(0)=A(6)
[mm] \rightarrow [/mm] x=3
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:10 Sa 26.09.2009 | | Autor: | gabi.meire |
ich will ja echt nciht nerven, aber könntest du mir die einzelnen schritte vielleciht noch einmal schriftlich beschreiben, so dass ich auch wirklich weiß, warum man was macht :)
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> ich will ja echt nciht nerven, aber könntest du mir die
> einzelnen schritte vielleciht noch einmal schriftlich
> beschreiben, so dass ich auch wirklich weiß, warum man was
> macht :)
Hallo,
schau Dir hierzu zunächst die Antwort an, die ich inzwischen gegeben habe.
Versuche anschließend, die Rechnung selbst durchzuführen. Erkläre Dir selbst jeden Schritt.
Wenn dann noch Fragen offen sind, zeige, wie weit Du mit Deinen Überlegungen und Rechnungen gekommen bist und frage dann das, bei dem Du noch ratlos bist.
Gruß v. Angela
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> hier eine aufgabe:
> ein rechteck habe den umfang 12cm. wie lang sind die
> rechteckseiten zu wählen, damit das rechteck maximalen
> flächeninhalt hat? (dabei bitte die randextremwerte
> berchnen)
Hallo,
ohne auf Details der rechnung einzugehen, geht es hier um folgendes:
Du sollst eine Extremwertberechnung mit Nebenbedingung durchführen.
Hier ist konkret das Maximum von f(a,b)=ab unter der Nebenbedingung 12=2a+2b herauszufinden.
Das berechnest Du erstmal "ganz normal" (Extremwertberechnung für f(a)=a(6-a)) und bekommst a_max=3.
Nun ist das a so, daß [mm] 0\le a\le [/mm] 6. (Anders gibt's ja kein Rechteck).
Die Randstellen a=0 und a=6 sind bei Deiner Rechnung aber nicht berücksichtigt: es könnte sein, daß an diesen Rändern ein Maximum vorliegt, ohne daß dort die Ableitung =0 ist.
(Du hast zuvor nur die Stellen mit Ableitung =0 untersucht.)
Dies prüfst Du nun, indem Du Dir am Ende naoch die Funktionswerte f(0) und f(6) anschaust und mit f(3) vergleichst.
Gruß v. Angela
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also rechen ich f(0) und f(6) aus und es kommt 0 und 0 raus. was sagt mir denn das?
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> also rechne ich f(0) und f(6) aus und es kommt 0 und 0 raus
Das ist richtig: Wenn eine Seite NULL ist, dann ist die Fläche NULL. Und wenn eine Seite SECHS ist, dann ist die Fläche auch NULL.
> Was sagt mir denn das?
Dass die Seiten zwischen NULL und SECHS sein müssen
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> also rechen ich f(0) und f(6) aus und es kommt 0 und 0
> raus. was sagt mir denn das?
Hallo,
wenn Du das mit dem Funktionswert an der (hoffentlich) von Dir errechneten Extremstelle a=3 mit f(3)=9 vergleichst, dann wirst Du überzeugt sein davon, daß Du wirklich mit a=3 das Maximum des Flächeninhaltes hast. Denn die Flächeninhalte für a=0 und a=6 sind ja eher klein...
Gruß v. Angela
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das andere habe ich alles selbst gerechnet, das bereitet mri auch gar keine probleme, die normalen extremwerte zu berechnen, deshalb wundere ich mich umso merh, warum ich bei den randextrema so auf dem schlauch stehe.
gesamt gesehen bedeutet das also, dass ich bei der bestimmung von randextrama immer 0 in bei f(x) einsetzte und eben die zahl, die in der zielfunktion gegeben ist?
jetzt verstehe ich nur noch nciht so ganz, wie ich die ergebnisse, die ich dort heruabekomme interpretieren bzw. aufschreiben muss. könntest du mir da nocheinmal einen denksnstoß im sinne einer erklärung geben?
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> das andere habe ich alles selbst gerechnet, das bereitet
> mri auch gar keine probleme, die normalen extremwerte zu
> berechnen, deshalb wundere ich mich umso merh, warum ich
> bei den randextrema so auf dem schlauch stehe.
Schau Dir das 2. Bildchen von Niladhoc an.
> gesamt gesehen bedeutet das also, dass ich bei der
> bestimmung von randextrama immer 0 in bei f(x) einsetzte
Du setzt die Grenzen des Bereiches aus dem Du x wählen darfst, ein.
Gruß v. Angela
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das ist mir ja soweit klar, aber wie schriebe ich das auf? in diesem fall f(0)<x>f(6) oder wie kennzeichnet man den Definitionsbereich in dieser Klammer? (0,6) oder wie?
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Intervallschreibweisen?
[mm] a\le x\le [/mm] b, I[a,b], [a,b]
oder wenn ein (hier z.B. der rechte) Randwert nicht definiert ist (z.B. tan x für [mm] x=\pi/2) [/mm] auch
[mm] a\le
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Hallo,
noch eine Ergänzung:
daß es tstsächlich vorkommen kann, daß ein errechnetes "Innenmaximum" von einem Randwert übertroffen wird, kannst Du Dir in dem von Niladhoc angehängten Dokument 2 anschauen.
Gruß v. Angela
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Hiho,
um die Randwerte zu bestimmen, setzt du einfach die Randwerte in die Funktion ein und schaust, welchen Wert sie annehmen.
Ein einfacher Vergleich mit deinen ausgerechneten Extremwerten gibt dir dann die Lösung, ob ein globales Extrema vorliegt oder ob das eben an den Rändern angenommen wird.
MFG,
Gono.
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sorry, auch wenn ich jetzt total dämlich rüberkomme, aber ich habe das leider immer noch nciht verstanden. wenn ich die randwerte in die funktion einsetzten soll, muss ich sie doch kennen. woher denn?
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