Random Walk auf Z^2 < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Do 05.01.2012 | | Autor: | ponyka87 |
Hallo,
meine Frage lautet:
Seien x, y zwei Punkte auf [mm] Z^2. [/mm] Die Distanz zwischen x und y betrage [mm] n^{1/2-\varepsilon}, [/mm] wobei [mm] \varepsilon [/mm] >0 aber klein. Ich starte in x bzw y zwei unabhängige simple random walks, und lasse sie n Schritte gehen. Meine Frage: in wie vielen Punkten treffen sie sich (mit großer Wahrscheinlichkeit) (steht im Large deviations Buch von Xia Chen)?
Wenn man im gleichen Punkt zwei unabhängige simple random walks startet, so treffen sie sich in ca [mm] n/(\log n)^2 [/mm] Punkten. Wären sie Distanz [mm] n^{1/2} [/mm] log n voneinander, so würden sie sich mit großer Wahrscheinlichkeit gar nicht treffen (Folgerung aus LCLT, findet man zB im Lawler Limic Buch). Was kann man für Punkte die dazwischen liegen sagen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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> Hallo,
> meine Frage lautet:
> Seien x, y zwei Punkte auf [mm]Z^2.[/mm] Die Distanz zwischen x und
> y betrage [mm]n^{1/2-\varepsilon},[/mm] wobei [mm]\varepsilon[/mm] >0 aber
> klein.
Die Distanz zwischen 2 Punkten in [mm] \IZ^2 [/mm] ist doch immer eine
Quadratwurzel aus einer nichtnegativen ganzen Zahl, also
[mm] d(x,y)=n^{1/2} [/mm] für ein [mm] n\ge0.
[/mm]
Weshalb dann hier [mm] d(x,y)=n^{1/2-\varepsilon} [/mm] ??
> Ich starte in x bzw y zwei unabhängige simple
> random walks, und lasse sie n Schritte gehen. Meine Frage:
> in wie vielen Punkten treffen sie sich (mit großer
> Wahrscheinlichkeit) (steht im Large deviations Buch von Xia
> Chen)?
> Wenn man im gleichen Punkt zwei unabhängige simple random
> walks startet, so treffen sie sich in ca [mm]n/(\log n)^2[/mm]
> Punkten.
Ist da [mm] $\frac{n}{(log(n))^2}$ [/mm] gemeint ?
> Wären sie Distanz [mm]n^{1/2}[/mm] log n voneinander, so
> würden sie sich mit großer Wahrscheinlichkeit gar nicht
> treffen (Folgerung aus LCLT, findet man zB im Lawler Limic
> Buch). Was kann man für Punkte die dazwischen liegen
> sagen?
> Vielen Dank für eure Hilfe!
Unter "LCLT" bringt Google zum Beispiel:
Locomotive Conservation and Learning Trust
L-Carnitin-L-Tartrat (so etwas vie Viagra für Oberarmmuskeln)
Lopez Community Land Trust
etc.
Was bedeutet es hier bei deinem Randomwalk ?
LG Al-Chw.
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Als allererstes möchte ich anfügen (das war nicht klar formuliert), dass ich n gegen unendlich schicken möchte, und mich deswegen nur asymptotische Ergebnisse interessieren.
Zur Distanz:
Sie soll polynomiell etwas weniger als [mm] n^{1/2} [/mm] sein. Deswegen habe ich [mm] n^{1/2-\varepsilon} [/mm] gewählt, wobei eben [mm] \varepsilon [/mm] sehr klein ist (insbesondere <1/2).
Ja, ich meinte [mm] \bruch{n}{(log n)^2}.
[/mm]
LCLT = local central limit theorem, sprich dass für [mm] |x|\leq n^{1/2} [/mm] gilt
P(J(n)=x) [mm] =O(n^{-1} exp(-|x|^2/n)),
[/mm]
wobei J hier mein SRW auf [mm] Z^2 [/mm] ist.
Vielen Dank schon jetzt für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 21.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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