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| Aufgabe | | Sei [mm] v:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R} [/mm] eine stetige Funktion mit kompaktem Träger, den wir [mm] \omega [/mm] nennen wollen. Zeigen Sie, dass v(x,y)=0 für alle [mm] (x,y)\in\partial\omega [/mm] gilt. |
Hallo,
ich hab mir mal das folgende überlegt. Wähle einen Randpunkt (x,y). Angenommen [mm] v(x,y)\neq0. [/mm] Da v insbesondere stetig ist, muss es dann für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] in [mm] B_{\varepsilon}(x,y)\backslash\omega [/mm] einen Punkt (x',y') geben mit [mm] v(x',y')\neq0. [/mm] Widerspruch.
Die Frage ist, ob der letzte Teil überhaupt richtig ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Di 23.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]v:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}[/mm] eine stetige
> Funktion mit kompaktem Träger, den wir [mm]\omega[/mm] nennen
> wollen. Zeigen Sie, dass v(x,y)=0 für alle
> [mm](x,y)\in\partial\omega[/mm] gilt.
> Hallo,
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> ich hab mir mal das folgende überlegt. Wähle einen
> Randpunkt (x,y). Angenommen [mm]v(x,y)\neq0.[/mm] Da v insbesondere
> stetig ist, muss es dann für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] in
> [mm]B_{\varepsilon}(x,y)\backslash\omega[/mm] einen Punkt (x',y')
> geben mit [mm]v(x',y')\neq0.[/mm] Widerspruch.
>
> Die Frage ist, ob der letzte Teil überhaupt richtig ist?
Nein. Es ist $(x',y') [mm] \in \IR^2 \setminus \omega$, [/mm] also ist v(x',y')=0.
Nimm [mm] (x_0,y_0) \in \partial \omega. [/mm] Ist dann U irgend eine Umgebung von [mm] (x_0,y_0), [/mm] so gilt: $U [mm] \cap [/mm] ( [mm] \IR^2 \setminus \omega) \ne \emptyset$.
[/mm]
Daher gibt es in [mm] \IR^2 \setminus \omega [/mm] eine Folge [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] mit: [mm] (x_n,y_n) \to (x_0,y_0).
[/mm]
Dann haben wir einerseits [mm] v(x_n,y_n)=0 [/mm] für jedes n und andererseits [mm] v(x_n,y_n) \to v(x_0,y_0).
[/mm]
Damit ist [mm] v(x_0,y_0)=0.
[/mm]
FRED
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