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| Aufgabe | Kurvendiskussion für folgende Funkion
[mm] f(x)=(x-1)e^{-|x|} [/mm] |
So als erstes hab ich die Fallunterscheidung gemacht für x
f(x)= [mm] (x-1)e^{-x} [/mm] ; x [mm] \ge [/mm] 0
f(x)= [mm] (x-1)e^{x} [/mm] ; x < 0
Dann hab ich den Definitionsbereich mit [mm] D=\IR [/mm] festgelegt.
Dann hab ich die Nullstellen bestimmt durch Nullsetzen von f(x).
Krieg dann für beide Fälle x=1 raus.
Nun das Randverhalten / die horizontale Asymptote:
Hab hier die Funktionen einmal gegen - und einmal gegen + [mm] \infty [/mm] geschickt.
Jetzt krieg ich hier raus:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x-1}{e^{x}} [/mm] = [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] dann mach ich Hospital --> [mm] \bruch{1}{e^{x}} [/mm] = 0
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{x-1}{e^{-x}} [/mm] = [mm] \bruch{\infty}{0} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Gut aber was sagt mir das jetzt?
Habe ich jetzt hier keine horizontale Asymptote?
Dafür müsste ich doch gegen + und - [mm] \infty [/mm] einen Grenzwert rauskriegen oder?
Wie ist das mit den anderen Asymptoten?
Vertikale Asymptoten wird es keine geben da ich keine Unstetigkeitsstelle x0 habe oder?
Und wie is das mit den Asymptoten der FOrm y=kx+d ?
Wann muss ich diese berechnen?
Des weiteren hab ich auch noch eine Frage zum Stetigkeitsbereich? Kann ich hier einfach sagen dass die Funktion stetig ist als Produkt stetiger Funktionen?
Denn (x-1) ist stetig und [mm] e^{x} [/mm] ist auch stetig,
aber wie ist das mit [mm] e^{-x} [/mm] ?
Fragen über Fragen,
Bitte um Hilfe...
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 So 06.03.2011 | | Autor: | Walde |
Hi rawberrie,
> Kurvendiskussion für folgende Funkion
>
> [mm]f(x)=(x-1)e^{-|x|}[/mm]
> So als erstes hab ich die Fallunterscheidung gemacht für
> x
>
> f(x)= [mm](x-1)e^{-x}[/mm] ; x [mm]\ge[/mm] 0
> f(x)= [mm](x-1)e^{x}[/mm] ; x < 0
>
> Dann hab ich den Definitionsbereich mit [mm]D=\IR[/mm] festgelegt.
> Dann hab ich die Nullstellen bestimmt durch Nullsetzen von
> f(x).
> Krieg dann für beide Fälle x=1 raus.
>
> Nun das Randverhalten / die horizontale Asymptote:
> Hab hier die Funktionen einmal gegen - und einmal gegen +
> [mm]\infty[/mm] geschickt.
> Jetzt krieg ich hier raus:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x-1}{e^{x}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] dann mach ich Hospital -->
> [mm]\bruch{1}{e^{x}}[/mm] = 0
Bis jetzt, alles ok.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{x-1}{e^{-x}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\infty}{0}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
Der Nenner geht nicht gegen 0. (und der Zähler nicht gegen [mm] \infty, [/mm] sondern [mm] -\infty, [/mm] macht aber am Ende nicht aus)
>
> Gut aber was sagt mir das jetzt?
> Habe ich jetzt hier keine horizontale Asymptote?
> Dafür müsste ich doch gegen + und - [mm]\infty[/mm] einen
> Grenzwert rauskriegen oder?
Siehe oben. Die Fkt. geht beides mal gegen 0
>
> Wie ist das mit den anderen Asymptoten?
> Vertikale Asymptoten wird es keine geben da ich keine
> Unstetigkeitsstelle x0 habe oder?
>
> Und wie is das mit den Asymptoten der FOrm y=kx+d ?
> Wann muss ich diese berechnen?
Für "schiefe" Asymptoten interessiert man sich, wenn eine Fkt. gegen [mm] \pm\infty [/mm] geht, ein Summand aber gegen Null, so dass also bei grossen x Werten dieser Summand kaum noch ins Gewicht fällt und somit der "nicht gegen Null Teil" der einzig relevante wird. ZB [mm] e^x+\bruch{1}{x}, [/mm] die Funktion ist für [mm] x\to\infty [/mm] nicht mehr von [mm] e^x [/mm] zu unterscheiden. Diese ist also eine "schiefe" Asymptote. Man sagt auch. Die Fkt. sind asymptotisch gleich. Es muss gelten [mm] |f(x)-a(x)|\to [/mm] 0 für [mm] x\to\pm\infty, [/mm] dann ist a(x) eine Asymptote von f (für x gegen [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] jeweils betrachten, es kann ja unterschiedliche geben). Steht glaube ich auch alles in der (allwissenden) Wikipedia.
>
> Des weiteren hab ich auch noch eine Frage zum
> Stetigkeitsbereich? Kann ich hier einfach sagen dass die
> Funktion stetig ist als Produkt stetiger Funktionen?
Ich würds gelten lassen. Wenn ihr das so hattet, darfst du's auch benutzen.
> Denn (x-1) ist stetig und [mm]e^{x}[/mm] ist auch stetig,
> aber wie ist das mit [mm]e^{-x}[/mm] ?
Alles stetig. Nicht nur das Produkt, sondern auch die Verkettung stetiger Fkt. ist stetig. Die Verkettung ist hier [mm] u(x)=e^x [/mm] $v(x)=-x$ [mm] u(v(x))=e^{-x}
[/mm]
> Fragen über Fragen,
> Bitte um Hilfe...
> Danke!
>
LG walde
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Ah ok danke für den Hinweis, dämlicher Fehler meinerseits!
Aber für die vertikalen Asymptoten trifft das also zu dass ich sie hier nicht berücksichtigen muss da ich keine Unstetigkeitsstelle x0 habe??
Wie ist das generell mit der Differenzierbarkeit?
Da gehts doch darum dass wenn in der Funktion [mm] f(x)=(x-1)e^{-x} [/mm] das x gleich 0 wird, quasi der e-Term wegfällt und nur mehr (x-1) dasteht.
Also wäre die Funktion in x=0 nicht differenzierbar?
Seh ich dass richtig?
Überprüfen könnt ich dass dann mit dieser Formel:
[mm] \limes_{x\rightarrow x0} \bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0}
[/mm]
Und zwar einmal für x0= 0- und einmal x0=0+
Und wenn ich da dann zwei verschiedene Grenzwerte rauskrieg ist quasi bewiesen dass das Ding in xo nicht differenzierbar ist??
Danke für deine Hilfe,
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 So 06.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Ah ok danke für den Hinweis, dämlicher Fehler
> meinerseits!
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> Aber für die vertikalen Asymptoten trifft das also zu dass
> ich sie hier nicht berücksichtigen muss da ich keine
> Unstetigkeitsstelle x0 habe??
>
> Wie ist das generell mit der Differenzierbarkeit?
> Da gehts doch darum dass wenn in der Funktion
> [mm]f(x)=(x-1)e^{-x}[/mm] das x gleich 0 wird, quasi der e-Term
> wegfällt und nur mehr (x-1) dasteht.
> Also wäre die Funktion in x=0 nicht differenzierbar?
Hallo,
Die Funktion [mm] f(x)=(x-1)e^{-|x|} [/mm] hat für
[mm] x>\ge [/mm] 0 die Form [mm] f(x)=(x-1)e^{-x} [/mm] und für x<0 die Form [mm] f(x)=(x-1)e^{x}.
[/mm]
Jede der beiden Funktionen für sich ist an jeder Stelle differenzierbar.
Ob die Gesamtfunktion differenzierbar ist hängt davon ab, ob die beiden Teilgraphen an ihrer Nahtstelle knickfrei ineinander übergehen.
Dazu kannst du die Anstiege von [mm] (x-1)e^{-x} [/mm] und von [mm] (x-1)e^{x} [/mm] an der Nahtstelle 0 berechnen und vergleichen.
Rechnerisch müssten da zwei verschiedene Anstiege rauskommen (siehe Skizze).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Abakus
> Seh ich dass richtig?
> Überprüfen könnt ich dass dann mit dieser Formel:
> [mm]\limes_{x\rightarrow x0} \bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0}[/mm]
> Und
> zwar einmal für x0= 0- und einmal x0=0+
> Und wenn ich da dann zwei verschiedene Grenzwerte
> rauskrieg ist quasi bewiesen dass das Ding in xo nicht
> differenzierbar ist??
>
> Danke für deine Hilfe,
> Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Mo 07.03.2011 | | Autor: | rawberrie |
Ok
danke !
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