Randverteilung berechnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 So 17.07.2011 | | Autor: | hilado |
| Aufgabe | Betrachten Sie zwei Zufallsvariablen X und Y mit gemeinsamer Dichte
f(x, y) = [mm] \begin{cases} 2x + 2y - 4xy, \mbox{für} 0 <= x <= 1 \mbox{und} 0 <= y <= 1 \\ 0, \mbox{sonst.} \end{cases}
[/mm]
Berechnen Sie die Randverteilungen von X und Y. |
Mein Lösungsweg:
[mm] F(\alpha_1, \alpha_2) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\alpha_1} \integral_{0}^{\alpha_2}{2x + 2y - 4xy dx dy} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\alpha_2}{[x^2 + 2y - 2x^2y]_{0}^{\alpha_1} dy} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\alpha_2}{\alpha_1^2 - 2\alpha_1^2y dy} [/mm] = [mm] [\alpha_1^2 [/mm] - [mm] \alpha_1^2*y^2]_{0}^{\alpha_2} [/mm] = [mm] -\alpha_1^2\alpha_2^2
[/mm]
Jetzt dem Limes verwenden:
[mm] \limes_{\alpha_2\rightarrow\infty} F(\alpha_1,\alpha_2) [/mm] = [mm] F(\alpha_1,1) [/mm] = [mm] -\alpha_1^2
[/mm]
[mm] F_x(\alpha) [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, \alpha < 0 \\ -\alpha_1^2, 0 <= \alpha <= 1 \\ 1, \alpha> 1 \end{cases}
[/mm]
Den Limes auch beim anderen kommt folgendes raus
[mm] F_y(\alpha) [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, \alpha < 0 \\ -\alpha_2^2, 0 <= \alpha <= 1 \\ 1, \alpha> 1 \end{cases}
[/mm]
Ist das soweit richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 So 17.07.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
meinst du
$ [mm] F_x(\alpha) [/mm] $ = $ [mm] \begin{cases} 0, \alpha < 0 \\ \red{-\alpha^2}, 0 <= \alpha <= 1 \\ 1, \alpha> 1 \end{cases} [/mm] $
?
Das *kann* nicht stimmen: [mm] $F_x(0.5)=-0.25$, [/mm] was keine Wahrscheinlichkeit ist.
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 So 17.07.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
mit Mathematica errechne ich fuer die gemeinsame Verteilungsfunktion [mm] $F(\alpha_1,\alpha_2)=\alpha_1\alpha_2 (\alpha_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 [/mm] - [mm] \alpha_1 \alpha_2)$, $0\le \alpha_1 .\alpha_2\le1$.
[/mm]
vg Luis
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