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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Di 23.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | Gegeben sei ein zufälliger Vektor (X,Y) ... Die gemeinsame Dichte von (X,Y) sei
[mm] f(x,y)=\bruch{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\bruch{x^2}{2}-2(y-1)}1_{(1,\infty)}(y), x,y\in\IR
[/mm]
wobei [mm] I_A [/mm] die Indikatorfunktion der Menge [mm] A\in\IR [/mm] bezeichne.
Bestimmen Sie die Dichten [mm] f_X [/mm] und [mm] f_Y [/mm] der Randverteilungen von (X,Y). Wie heißen diese Verteilungen? |
Bitte mal überprüfen, ob ich das so richtig mache:
[mm] f_X [/mm] ist kein Problem, das hab ich.
[mm] f_Y(y)=\int_{-\infty}^\infty{f(x,y)dx}
[/mm]
[mm] =\int_{-\infty}^\infty{\bruch{2}{\sqrt{2\pi}}e^{2-2y}e^{-\bruch{x^2}{2}}dx}
[/mm]
[mm] =2e^{2-2y}\int_{-\infty}^\infty{\bruch{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\bruch{x^2}{2}}dx}
[/mm]
Dabei ist [mm] A(x):=\bruch{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\bruch{x^2}{2}} [/mm] normalverteilt, also [mm] \sim [/mm] N(0,1), also
[mm] \int_{-\infty}^\infty{A(x) dx}=1
[/mm]
und damit
[mm] f_Y(y)=2e^{2-2y}
[/mm]
Stimm das so? Aber wenn ja, wie soll die Verteilung dann heißen? Eine Exponentialverteilung ist es ja nicht so richtig. Da ist der Faktor [mm] e^2 [/mm] zu viel...
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Hallo Cybrina,
> Gegeben sei ein zufälliger Vektor (X,Y) ... Die gemeinsame
> Dichte von (X,Y) sei
>
> [mm]f(x,y)=\bruch{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\bruch{x^2}{2}-2(y-1)}1_{(1,\infty)}(y), x,y\in\IR[/mm]
>
> wobei [mm]I_A[/mm] die Indikatorfunktion der Menge [mm]A\in\IR[/mm]
> bezeichne.
> Bestimmen Sie die Dichten [mm]f_X[/mm] und [mm]f_Y[/mm] der Randverteilungen
> von (X,Y). Wie heißen diese Verteilungen?
> Bitte mal überprüfen, ob ich das so richtig mache:
> [mm]f_X[/mm] ist kein Problem, das hab ich.
>
> [mm]f_Y(y)=\int_{-\infty}^\infty{f(x,y)dx}[/mm]
>
> [mm]=\int_{-\infty}^\infty{\bruch{2}{\sqrt{2\pi}}e^{2-2y}e^{-\bruch{x^2}{2}}dx}[/mm]
>
> [mm]=2e^{2-2y}\int_{-\infty}^\infty{\bruch{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\bruch{x^2}{2}}dx}[/mm]
> Dabei ist [mm]A(x):=\bruch{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\bruch{x^2}{2}}[/mm]
> normalverteilt, also [mm]\sim[/mm] N(0,1), also
> [mm]\int_{-\infty}^\infty{A(x) dx}=1[/mm]
> und damit
> [mm]f_Y(y)=2e^{2-2y}[/mm]
>
> Stimm das so? Aber wenn ja, wie soll die Verteilung dann
> heißen? Eine Exponentialverteilung ist es ja nicht so
> richtig. Da ist der Faktor [mm]e^2[/mm] zu viel...
Alles ist richtig.
Du hast allerdings noch die Indikatorfunktion vergessen:
[mm] $f_{Y}(y) [/mm] = [mm] 2*e^{2-2*y}*1_{(1,\infty)}(y)$
[/mm]
Deswegen kannst du es durchaus als exponentialverteilt interpretieren, denn die Verteilung ist praktisch nur um 1 nach rechts im Graphen verschoben (einziges Problem ist die Stelle y = 1; da müsste eigentlich [mm] \lambda [/mm] = 2 rauskommen, aber du erhältst 0 aufgrund der Indikatorfunktion).
Aber es ist auf keinen Fall etwas "anderes" als eine Exponentialverteilung.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Di 23.02.2010 | | Autor: | luis52 |
> Aber es ist auf keinen Fall etwas "anderes" als eine
> Exponentialverteilung.
>
>
Genauer: Verschobene Exponentialverteilung.
vg Luis
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Hallo luis,
danke für deine Korrektur 
Gibt es eigentlich ein Problem mit y = 1 ?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Di 23.02.2010 | | Autor: | luis52 |
>
> Gibt es eigentlich ein Problem mit y = 1 ?
Ich sehe keins. Schau mal hier, ![[]](/images/popup.gif) Seite 24 oben.
vg Luis
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Hallo luis,
danke für deine Antwort!
Aber wird auch in diesem Dokument nicht die Form
[mm] $1_{\red{[}1,\infty)}*2*e^{2-2*y}$
[/mm]
benutzt, also mit abgeschlossenem Intervall? Oben ist doch aber:
[mm] $1_{\red{(}1,\infty)}*2*e^{2-2*y}$,
[/mm]
also mit offenem Intervall?
Ist das egal?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Di 23.02.2010 | | Autor: | luis52 |
> Ist das egal?
>
Ja, weil es sich um eine stetige Verteilung handelt. Besitzt $X$ die Dichte mit dem linksoffenen Intervall und $Y$ die mit dem rechtsabgeschlossen, so sind $X$ und $Y$ identisch verteilt, weil sie dieselbe Verteilungsfunktion besitzen.
vg Luis
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Hallo luis,
danke für die Antwort.
Wieder etwas dazugelernt
Grüße,
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:16 Mi 24.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | (s.o.)
(b) Sind X und Y unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort!
(c) Berechnen Sie die Kovarianz cov(X,Y). |
Da ihr ja fleißig diskutiert, wollt ihr mir bestimmt noch bei einer anderen Frage helfen?!
zu (b) X und Y sind unabhängig, da für alle [mm] x\in [/mm] X und [mm] y\in [/mm] Y gilt [mm] f_{(X,Y)}(x,y)=f_X(x)*f_Y(y)
[/mm]
(c) Wie mach ich das denn? Ich mein, dadurch, dass X und Y ja unabhängig sind, ist
E(XY)=(EX)(EY), also
cov(X,Y)=E(XY)-(EX)(EY)=0.
Ist das alles?
Und, wie würde ich das denn machen, wenn die nicht unabhängig wären. Also, wie würde ich dann speziell E(XY) berechnen?
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Hallo!
> (s.o.)
> (b) Sind X und Y unabhängig? Begründen Sie Ihre
> Antwort!
> (c) Berechnen Sie die Kovarianz cov(X,Y).
> Da ihr ja fleißig diskutiert, wollt ihr mir bestimmt noch
> bei einer anderen Frage helfen?!
>
> zu (b) X und Y sind unabhängig, da für alle [mm]x\in[/mm] X und
> [mm]y\in[/mm] Y gilt [mm]f_{(X,Y)}(x,y)=f_X(x)*f_Y(y)[/mm]
Ich würde dir zustimmen.
> (c) Wie mach ich das denn? Ich mein, dadurch, dass X und Y
> ja unabhängig sind, ist
> E(XY)=(EX)(EY), also
> cov(X,Y)=E(XY)-(EX)(EY)=0.
> Ist das alles?
Ja. Du kannst schon vorher aufhören: Da X und Y unabhängig sind, gilt cov(X,Y) = 0. (Das ist eine direkte Folgerung, die du jetzt nochmal bewiesen hast).
> Und, wie würde ich das denn machen, wenn die nicht
> unabhängig wären. Also, wie würde ich dann speziell
> E(XY) berechnen?
$E(XY) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}(x*y)*f_{X,Y}(x,y) [/mm] dy dx$
Grüße,
Stefan
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Hi, mich würde bei dieser Aufgabe gerade auch mal interessieren, wie man das aber jetzt zeigen kann, das mit der unabhängigkeit.
> zu (b) X und Y sind unabhängig, da für alle $ [mm] x\in [/mm] $ X und
> $ [mm] y\in [/mm] $ Y gilt $ [mm] f_{(X,Y)}(x,y)=f_X(x)\cdot{}f_Y(y) [/mm] $
reicht doch wohl kaum als antwort aus, oder???
und wenn b) gilt, folgt c) sofort, ok. aber wie gesagt, die b) würde mich auch nochmal interessieren, wie man die Unabhängigkeit exakt nachweist.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mi 24.02.2010 | | Autor: | jaruleking |
ohh sorry, fehler von mir.
jetzt habe ich es doch auch gesehen. wir haben ja die Randdichten, damit folgt das schon. und die begründung müsste reichen.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mi 24.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Der Vollständigkeit halber schließe ich mal diese Frage ab. Ist ja alles geklärt.
Mich hatte bei (c) vor allem das "Berechnen Sie" gestört - immerhin gabs ja nich wirklich was zu berechnen, aber naja...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 04.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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