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| Aufgabe | [mm] Die\; allgemeine\; lineare\; RWA\;
[/mm]
$y'(x) = C(x)y+f$
$Ay(a)+By(b) = c$
[mm] \;Die\; L"osung\; kann\; geschrieben\; werden\; als\; L"osung\; des\; homogenen\; Systems\; [/mm] $+$ [mm] \;partikul"are\; L"osung\;:
[/mm]
$y(x) = [mm] Y(x)\alpha [/mm] + [mm] \widetilde{y}$
[/mm]
[mm] \;Man\; erh"alt\; die\; L"osung\; wenn\; man\; $\alpha$ \;folgendermassen\; setzt\; (\;diese \;Formel \;f"allt \;im \;Skript
[/mm]
[mm] \;einfach \;vom \;Himmel\;). \;Wo \;kommt\;die\; her\;?\;!\;
[/mm]
[mm] $\alpha [/mm] = [mm] (AY(a)+BY(b))^{-1}(c-A\widetilde{y}(a)-B\widetilde{y}(b))$
[/mm]
[mm] \;Vorgehen \;um \;die \;RWA \;zu \;l"osen\;$:$
[/mm]
$1.$ [mm] \;partikul"are\; L"osung\; $y_i$: [/mm] $y'(x) = C(x)y+f(x)$ [mm] \;mit\; $y(a)=y_0, y_0$ \;beliebig \;gew"ahlt\;,\; z\;.\;B\;.\; $y_0=0$
[/mm]
$2.$ [mm] \;homogene \;L"osung\;$Y(x): [/mm] y'(x) = C(x)y$ [mm] \;mit\; [/mm] $y(a) = [mm] e^j$, $j=1,\ldots,n$
[/mm]
$3.$ [mm] \;bei \;Wahl \; [/mm] $Y(a) = E$ [mm] \;ergibt \;sich\;:\; $\widetilde{\alpha} [/mm] = [mm] (AY(a)+BY(b))^{-1}(c-A\widetilde{y}_i(a)-B\widetilde{y}_i(b))$
[/mm]
[mm] \;Frage\; [/mm] $:$ [mm] \;man \;wird \;doch \;$\widetilde{\alpha}$ \;nicht \;ausrechnen\;? \;Mein \;Matheprof. \;hat \;immer \;gesagt\;, \;dass \;man \;es \;vermeidet \;Inverse\;
[/mm]
[mm] \;zu \;berechnen\;.\;
[/mm]
[mm] \;Und\; das\; $\widetilde{\alpha}$ \;kann \;man \;dann \;einsetzen \;und \;eine \;AWA \;l"osen: \;$y'=C(x)y+f(x)$, $y(a)=Y(a)\widetilde{\alpha}+y_0$ [/mm] |
Hallo,
in dem Text sind mir zwei Stellen unklar. Hast du da eine Erläuterung zu, die mir vielleicht weiterhelfen könnte?
Gruß
Alice
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Hallo Alice,
Zur Lösung von $ [mm] \widetilde{\alpha} [/mm] = [mm] (AY(a)+BY(b))^{-1}(c-A\widetilde{y}_i(a)-B\widetilde{y}_i(b)) [/mm] $ berechnet man nicht die Inverse sondern löst das zugehörige Gleichungssystem
$ [mm] (AY(a)+BY(b))\widetilde{\alpha} [/mm] = [mm] (c-A\widetilde{y}_i(a)-B\widetilde{y}_i(b)) [/mm] $ mittels Gauß oder ähnlichem. Die Inverse wird eben nicht direkt berechnet und auch nicht gebraucht um [mm] \widetilde{\alpha} [/mm] zu bekommen.
viele Grüße
mathemaduenn
P.S.: zur anderen Frage kanst Du ja mal in ein Buch "Gewöhnliche DGL"(z.B. Walther ) schauen. Ich mach das vllt. später auch noch 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Fr 07.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Alice
> [mm]Die\; allgemeine\; lineare\; RWA\;[/mm]
> [mm]y'(x) = C(x)y+f[/mm]
>
> [mm]Ay(a)+By(b) = c[/mm]
> [mm]\;Die\; L"osung\; kann\; geschrieben\; werden\; als\; L"osung\; des\; homogenen\; Systems\;[/mm]
> [mm]+[/mm] [mm]\;partikul"are\; L"osung\;:[/mm]
> [mm]y(x) = Y(x)\alpha + \widetilde{y}[/mm]
>
> [mm]\;Man\; erh"alt\; die\; L"osung\; wenn\; man\;[/mm] [mm]\alpha[/mm]
> [mm]\;folgendermassen\; setzt\; (\;diese \;Formel \;f"allt \;im \;Skript[/mm]
>
> [mm]\;einfach \;vom \;Himmel\;). \;Wo \;kommt\;die\; her\;?\;!\;[/mm]
Du setzest einfach : [mm]y(x) = Y(x)\alpha + \widetilde{y}[/mm] x=a und x=b und setzest in [mm]Ay(a)+By(b) = c[/mm] ein und löst nach [mm] \alpha [/mm] auf.
> [mm]\alpha = (AY(a)+BY(b))^{-1}(c-A\widetilde{y}(a)-B\widetilde{y}(b))[/mm]
>
> [mm]\;Vorgehen \;um \;die \;RWA \;zu \;l"osen\;[/mm] [mm]:[/mm]
> [mm]1.[/mm] [mm]\;partikul"are\; L"osung\;[/mm] [mm]y_i[/mm]: [mm]y'(x) = C(x)y+f(x)[/mm]
> [mm]\;mit\;[/mm] [mm]y(a)=y_0, y_0[/mm] [mm]\;beliebig \;gew"ahlt\;,\; z\;.\;B\;.\;[/mm]
> [mm]y_0=0[/mm]
> [mm]2.[/mm] [mm]\;homogene \;L"osung\;[/mm] [mm]Y(x): y'(x) = C(x)y[/mm] [mm]\;mit\;[/mm]
> [mm]y(a) = e^j[/mm], [mm]j=1,\ldots,n[/mm]
> [mm]3.[/mm] [mm]\;bei \;Wahl \;[/mm] [mm]Y(a) = E[/mm] [mm]\;ergibt \;sich\;:\;[/mm]
> [mm]\widetilde{\alpha} = (AY(a)+BY(b))^{-1}(c-A\widetilde{y}_i(a)-B\widetilde{y}_i(b))[/mm]
>
> [mm] \;Frage\;[/mm] [mm]:[/mm] [mm]\;man \;wird \;doch \;[/mm] [mm]\widetilde{\alpha}[/mm]
> [mm]\;nicht \;ausrechnen\;? \;Mein \;Matheprof. \;hat \;immer \;gesagt\;, \;dass \;man \;es \;vermeidet \;Inverse\;[/mm]
>
> [mm] \;zu \;berechnen\;.\;[/mm]
Das ist ja nicht das Inverse einer Fkt. sondern die ausgewertete Fkt. steht im Nenner!
> [mm]\;Und\; das\;[/mm] [mm]\widetilde{\alpha}[/mm]
> [mm]\;kann \;man \;dann \;einsetzen \;und \;eine \;AWA \;l"osen: \;[/mm]
> [mm]y'=C(x)y+f(x)[/mm], [mm]y(a)=Y(a)\widetilde{\alpha}+y_0[/mm]
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Hallo ihr beiden,
vielen Dank für die Hilfe. Ist echt einleuchtend.
Gruß
Alice
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