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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:23 So 14.06.2009 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Diskutieren sie Existenz und Eindeutigkeit schwacher Lösungen des folgenden Randwertproblems.
[mm] -\Delta u=\lambda*u+f [/mm] auf [mm] \Omega=]0;\pi[^{3}
[/mm]
u=0 auf [mm] \partial \Omega
[/mm]
[mm] \lambda \in \IR [/mm] und [mm] f\in L^{2}(]0;\pi[)
[/mm]
a) für [mm] \lambda [/mm] =18 und [mm] f=sin(3x_{1})sin(3x_{2})sin(x_{3})
[/mm]
b) gibt es im Fall [mm] \lambda=18 [/mm] für jedes f [mm] \in L^{2}(]0;\pi[) [/mm] eine schwache Lösung?
c) Zeigen sie das es im Fall [mm] \lambda=0 [/mm] und f=-1 keine nichtnegative Lösung des RWP gibt.
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Hallo,
man soll bei diesen Aufgaben die Fredholm Alternative verwenden. In den Aufgaben vorher sollte man schon zeigen, das der Laplace Operator nur positive Eigenwerte hat und das alle Eigenwerte die Form [mm] m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2} [/mm] haben, wobei [mm] m\in \IN.
[/mm]
Es gibt einen Satz im Skript der sagt:
Es gibt eine Menge [mm] \Sigma, [/mm] womit das Spektrum des Operators gemeint ist, so das das RWP oben genau für alle [mm] \lambda, [/mm] die nicht zu den Eigenwerten des Operators gehören, eine eindeutige schwache Lösung besitzt.
Wenn [mm] \lambda [/mm] aber eben zu den Eigenwerten gehört, kann ich aus dem Satz doch nicht automatisch folgern, das es dann keine Lösungen gibt!?
Ich weiß aber echt nicht, wie ich sonst die Existenz und die Eindeutigkeit einer Lösung zeigen soll?
Im dritten Fall dachte ich ich löse die Dgl. einfach mit dem Produktansatz aber das haut irgendwie auch nicht so ganz hin.
Also, was kann ich machen?
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 16.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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