Randwertaufgabe < Matlab < Mathe-Software < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Randwertaufgabe u''(t)+t*u'(t)+2*u(t)=f(t),
ua=u(0)=0, ub=u(2)=1 mit gegebenem f: [0, 2] $ [mm] \to \IR [/mm] $ .
f(x)=exp(2*x)*(-3*sin(3*x)+12*cos(3*x)+x*(2*sin(3*x)+3*cos(3*x)))
Diskretisieren Sie die RWA mit h=2/(n+1) und den Differenzformeln
u''(t) $ [mm] \approx \bruch{u(t+h)-2\cdot{}u(t)+u(t-h)}{h^2} [/mm] $
und
u'(t) $ [mm] \approx \bruch{u(t+h)-u(t-h)}{2\cdot{}h} [/mm] $
- Deklarieren Sie n, ua, ub und f
- Stützstellenvektor t erstellen
- Matrix A erstellen mithilfe von diag, hier werden jedoch Schleifen benötigt
- rechte Seite rs erstellen
- $ [mm] u=A\rs [/mm] $ lösen
Näherungslösung und exakte Lösung plotten.
Exakte Lösung ist: u(x)=exp(2x)*sin(3x) |
Hallo,
Ich bin mir nicht sicher, ob meine Lösung bzw. bearbeitung dieser Aufgabe richtig ist, da die Näherungslösung bzw. deren Graph doch schon deutlich von dem Graphen der exakten Lösung abweicht.
Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand kurz rüberschauen könnte, ob denn auch alles stimmt.
Das Gleichungssystem erstmal schriftlich (Nur die Endlösung):
[mm] u_{i-1}:=u\left(t-h\right) [/mm]
[mm] u_{i}:=u\left(t\right) [/mm]
[mm] u_{i+1}:=u\left(t+h\right) [/mm]
[mm] \gdw (2+h\cdot{}t_{i})u_{i+1}+(4h^2-4)u_{i}+(2-t_{i}\cdot{}h)u_{i-1}=2h^2\cdot{}f(ti) [/mm]
für i = 1, ..., n
Nun der Programmcode:
n=1000;
ua=0;
ub=exp(4)*sin(6);
f=@(x)exp(2*x)*(-3*sin(3*x)+12*cos(3*x)+x*(2*sin(3*x)+3*cos(3*x)));
fexakt=@(x)exp(2.*x).*sin(3.*x);
h=2/(n+1);
t=0:h:2;
ti=t(1:n);
em1=ones(n-1,1);
for i=1 : +1: n-1
em1(i,1)=(2+h*ti(i));
end
em2=ones(n-1,1);
for i=1 : +1: n-1
em2(i,1)=(2-h*ti(i));
end
[mm] e=(4*(h^2)-4)*ones(n,1);
[/mm]
A=diag(e)+diag(em2,-1)+diag(em1,1);
[mm] rs(1,1)=2*(h^2)*f(t(1))-ua;
[/mm]
[mm] rs(n,1)=2*(h^2)*f(t(n))-ub;
[/mm]
for i=2 : +1: n-1
[mm] rs(i,1)=2*(h^2)*f(ti(i));
[/mm]
end
u = A \ rs;
hold on
plot(ti, u, 'b')
plot(ti, fexakt(ti), 'r')
hold off;
|
|
| |
|
Hallo Jack159,
> Gegeben ist die Randwertaufgabe
> u''(t)+t*u'(t)+2*u(t)=f(t),
> ua=u(0)=0, ub=u(2)=1 mit gegebenem f: [0, 2] [mm]\to \IR[/mm] .
>
> f(x)=exp(2*x)*(-3*sin(3*x)+12*cos(3*x)+x*(2*sin(3*x)+3*cos(3*x)))
>
> Diskretisieren Sie die RWA mit h=2/(n+1) und den
> Differenzformeln
>
> u''(t) [mm]\approx \bruch{u(t+h)-2\cdot{}u(t)+u(t-h)}{h^2}[/mm]
>
> und
>
> u'(t) [mm]\approx \bruch{u(t+h)-u(t-h)}{2\cdot{}h}[/mm]
>
>
> - Deklarieren Sie n, ua, ub und f
> - Stützstellenvektor t erstellen
> - Matrix A erstellen mithilfe von diag, hier werden jedoch
> Schleifen benötigt
> - rechte Seite rs erstellen
> - [mm]u=A\rs[/mm] lösen
>
> Näherungslösung und exakte Lösung plotten.
> Exakte Lösung ist: u(x)=exp(2x)*sin(3x)
>
> Hallo,
>
> Ich bin mir nicht sicher, ob meine Lösung bzw. bearbeitung
> dieser Aufgabe richtig ist, da die Näherungslösung bzw.
> deren Graph doch schon deutlich von dem Graphen der exakten
> Lösung abweicht.
> Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand kurz rüberschauen
> könnte, ob denn auch alles stimmt.
>
>
> Das Gleichungssystem erstmal schriftlich (Nur die
> Endlösung):
>
> [mm]u_{i-1}:=u\left(t-h\right)[/mm]
>
> [mm]u_{i}:=u\left(t\right)[/mm]
>
> [mm]u_{i+1}:=u\left(t+h\right)[/mm]
>
>
> [mm]\gdw (2+h\cdot{}t_{i})u_{i+1}+(4h^2-4)u_{i}+(2-t_{i}\cdot{}h)u_{i-1}=2h^2\cdot{}f(ti)[/mm]
>
> für i = 1, ..., n
>
Bevor Du den Programmcode schreibst,
schreibe Dir von der entstehenden Matrix
die erste, zweite, vorletzte und letzte Gleichung auf.
>
>
> Nun der Programmcode:
>
> n=1000;
> ua=0;
> ub=exp(4)*sin(6);
>
> f=@(x)exp(2*x)*(-3*sin(3*x)+12*cos(3*x)+x*(2*sin(3*x)+3*cos(3*x)));
> fexakt=@(x)exp(2.*x).*sin(3.*x);
> h=2/(n+1);
>
> t=0:h:2;
> ti=t(1:n);
>
Hier muss es doch lauten:
ti=t(2:(n+1))
>
> em1=ones(n-1,1);
> for i=1 : +1: n-1
> em1(i,1)=(2+h*ti(i));
> end
>
Das ist in Ordnung.
> em2=ones(n-1,1);
> for i=1 : +1: n-1
> em2(i,1)=(2-h*ti(i));
Hier hast Du Dich mit dem Index von ti vertan:
em2(i,1)=(2-h*ti(i+1));
> end
>
> [mm]e=(4*(h^2)-4)*ones(n,1);[/mm]
>
> A=diag(e)+diag(em2,-1)+diag(em1,1);
>
>
>
> [mm]rs(1,1)=2*(h^2)*f(t(1))-ua;[/mm]
> [mm]rs(n,1)=2*(h^2)*f(t(n))-ub;[/mm]
>
Hier müssen die Gleichungen lauten:
[mm]rs(1,1)=2*(h^2)*f(t(1))-\red{\left(2-h*ti(1)\right)}ua;[/mm]
[mm]rs(n,1)=2*(h^2)*f(t(n))-\red{\left(2+h*ti(n)\right)}ub;[/mm]
> for i=2 : +1: n-1
> [mm]rs(i,1)=2*(h^2)*f(ti(i));[/mm]
> end
>
> u = A \ rs;
>
> hold on
> plot(ti, u, 'b')
> plot(ti, fexakt(ti), 'r')
> hold off;
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo MathePower,
Danke für deine Korrektur.
> Bevor Du den Programmcode schreibst,
> schreibe Dir von der entstehenden Matrix
> die erste, zweite, vorletzte und letzte Gleichung auf.
1. Gleichung:
[mm] (2+h*t_{1})u_{1+1}+(4h^2-4)u_{1}+(2-t_{1}*h)u_{1-1}=2h^2*f(t_{1})
[/mm]
[mm] \gdw (2+h*t_{1})u_{2}+(4h^2-4)u_{1}+(2-t_{1}*h)u_{0}=2h^2*f(t_{1})
[/mm]
[mm] \gdw (2+h*t_{1})u_{2}+(4h^2-4)u_{1}=2h^2*f(t_{1})-(2-t_{1}*h)u_{0} [/mm] (mit [mm] u_{0}=u_{a}) [/mm] Hier verstehe ich jetzt auch, wie du auf die (unten rot makierte) rechte Seite kommst?!
2. Gleichung:
[mm] (2+h*t_{2})u_{2+1}+(4h^2-4)u_{2}+(2-t_{2}*h)u_{2-1}=2h^2*f(t_{1})
[/mm]
[mm] \gdw (2+h*t_{2})u_{3}+(4h^2-4)u_{2}+(2-t_{2}*h)u_{1}=2h^2*f(t_{2})
[/mm]
Vorletze Gleichung:
[mm] (2+h*t_{n-1})u_{n-1+1}+(4h^2-4)u_{n-1}+(2-t_{n-1}*h)u_{n-1-1}=2h^2*f(t_{n-1})
[/mm]
[mm] \gdw (2+h*t_{n-1})u_{n}+(4h^2-4)u_{n-1}+(2-t_{n-1}*h)u_{n-2}=2h^2*f(t_{n-1})
[/mm]
Letzte Gleichung:
[mm] (2+h*t_{n})u_{n+1}+(4h^2-4)u_{n}+(2-t_{n}*h)u_{n-1}=2h^2*f(t_{n})
[/mm]
[mm] \gdw (4h^2-4)u_{n}+(2-t_{n}*h)u_{n-1}=2h^2*f(t_{n})-(2+h*t_{n})u_{n+1} [/mm] Hier verstehe ich jetzt auch, wie du auf die (unten rot makierte) rechte Seite kommst?!
> Hier müssen die Gleichungen lauten:
>
> [mm]rs(1,1)=2*(h^2)*f(t(1))-\red{\left(2-h*ti(1)\right)}ua;[/mm]
> [mm]rs(n,1)=2*(h^2)*f(t(n))-\red{\left(2+h*ti(n)\right)}ub;[/mm]
Erklärung dazu müsste aus der 1. und letzten Gleichung oben hervorgehen, indem man einfach umstellt?! Verstehe ich das richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo Jack159,
> Hallo MathePower,
>
> Danke für deine Korrektur.
>
>
>
> > Bevor Du den Programmcode schreibst,
> > schreibe Dir von der entstehenden Matrix
> > die erste, zweite, vorletzte und letzte Gleichung auf.
>
> 1. Gleichung:
>
> [mm](2+h*t_{1})u_{1+1}+(4h^2-4)u_{1}+(2-t_{1}*h)u_{1-1}=2h^2*f(t_{1})[/mm]
> [mm]\gdw (2+h*t_{1})u_{2}+(4h^2-4)u_{1}+(2-t_{1}*h)u_{0}=2h^2*f(t_{1})[/mm]
>
> [mm]\gdw (2+h*t_{1})u_{2}+(4h^2-4)u_{1}=2h^2*f(t_{1})-(2-t_{1}*h)u_{0}[/mm]
> (mit [mm]u_{0}=u_{a})[/mm] Hier verstehe ich jetzt auch, wie du auf
> die (unten rot makierte) rechte Seite kommst?!
>
> 2. Gleichung:
>
> [mm](2+h*t_{2})u_{2+1}+(4h^2-4)u_{2}+(2-t_{2}*h)u_{2-1}=2h^2*f(t_{1})[/mm]
> [mm]\gdw (2+h*t_{2})u_{3}+(4h^2-4)u_{2}+(2-t_{2}*h)u_{1}=2h^2*f(t_{2})[/mm]
>
> Vorletze Gleichung:
>
> [mm](2+h*t_{n-1})u_{n-1+1}+(4h^2-4)u_{n-1}+(2-t_{n-1}*h)u_{n-1-1}=2h^2*f(t_{n-1})[/mm]
> [mm]\gdw (2+h*t_{n-1})u_{n}+(4h^2-4)u_{n-1}+(2-t_{n-1}*h)u_{n-2}=2h^2*f(t_{n-1})[/mm]
>
> Letzte Gleichung:
>
> [mm](2+h*t_{n})u_{n+1}+(4h^2-4)u_{n}+(2-t_{n}*h)u_{n-1}=2h^2*f(t_{n})[/mm]
> [mm]\gdw (4h^2-4)u_{n}+(2-t_{n}*h)u_{n-1}=2h^2*f(t_{n})-(2+h*t_{n})u_{n+1}[/mm]
> Hier verstehe ich jetzt auch, wie du auf die (unten rot
> makierte) rechte Seite kommst?!
>
>
>
> > Hier müssen die Gleichungen lauten:
> >
> > [mm]rs(1,1)=2*(h^2)*f(t(1))-\red{\left(2-h*ti(1)\right)}ua;[/mm]
> >
> [mm]rs(n,1)=2*(h^2)*f(t(n))-\red{\left(2+h*ti(n)\right)}ub;[/mm]
>
> Erklärung dazu müsste aus der 1. und letzten Gleichung
> oben hervorgehen, indem man einfach umstellt?! Verstehe ich
> das richtig?
Ja, das verstehst Du richtig.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Jack159 |
Alles klar, danke dir für deine umfassende Hilfe ;)
|
|
|
|
