Randwertaufgabe / Diskretis. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Randwertaufgabe u''(t)+t*u'(t)+2*u(t)=f(t),
u(0)=0, u(2)=1 mit gegebenem f: [0, 2] [mm] \to \IR [/mm] .
Diskretisieren Sie die RWA mit h=2/n und den Differenzformeln
u''(t) [mm] \approx \bruch{u(t+h)-2*u(t)+u(t-h)}{h^2} [/mm]
und
u'(t) [mm] \approx \bruch{u(t+h)-u(t-h)}{2*h}
[/mm]
Stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem Au=b auf. |
Hallo,
Zu diesem Thema bin ich noch sehr unerfahren...Ich habe hier einen Lösungsvorschlag/lösungsansatz (Au=b aufstellen lasse ich erstmal außen vor), bin mir aber nicht sicher ob dieser wirklich richtig ist...
Ich würde jetzt zunächst erstmal in u''(t) und u'(t) jeweils h durch [mm] \bruch{2}{n} [/mm] ersetzen.
Dann würde ich in der Gleichung
u''(t)+t*u'(z)+2*u(t)=f(t)
jeweils u''(t) und u'(t) durch die jeweilige andere Seite ersetzen.
Also:
[mm] \bruch{u(t+\bruch{2}{n})-2*u(t)+u(t-\bruch{2}{n})}{\bruch{2}{n}^2} +t*\bruch{u(t+\bruch{2}{n})-u(t-\bruch{2}{n})}{2*\bruch{2}{n}}+2*u(t)=f(t)
[/mm]
In dieser Gleichung ist also Unbekannt: [mm] u(t+\bruch{2}{n}), [/mm] u(t) und [mm] u(t-\bruch{2}{n})
[/mm]
Das t ist ja bekannt. Das ist doch das Intervall [0,2] oder?
n ist hier erstmal nicht bekannt, wird aber normalerweise festgelegt oder?
Ist das denn bis hierhin überhaupt richtig?
Mein nächster Gedanke wäre jetzt, die obige Gleichung in Form von Au=b umzuschreiben...
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Hallo Jack159,
> Gegeben ist die Randwertaufgabe
> u''(t)+t*u'(t)+2*u(t)=f(t),
> u(0)=0, u(2)=1 mit gegebenem f: [0, 2] [mm]\to \IR[/mm] .
> Diskretisieren Sie die RWA mit h=2/n und den
> Differenzformeln
> u''(t) [mm]\approx \bruch{u(t+h)-2*u(t)+u(t-h)}{h^2}[/mm]
> und
> u'(t) [mm]\approx \bruch{u(t+h)-u(t-h)}{2*h}[/mm]
>
> Stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem Au=b
> auf.
> Hallo,
>
> Zu diesem Thema bin ich noch sehr unerfahren...Ich habe
> hier einen Lösungsvorschlag/lösungsansatz (Au=b
> aufstellen lasse ich erstmal außen vor), bin mir aber
> nicht sicher ob dieser wirklich richtig ist...
>
> Ich würde jetzt zunächst erstmal in u''(t) und u'(t)
> jeweils h durch [mm]\bruch{2}{n}[/mm] ersetzen.
> Dann würde ich in der Gleichung
> u''(t)+t*u'(z)+2*u(t)=f(t)
> jeweils u''(t) und u'(t) durch die jeweilige andere Seite
> ersetzen.
> Also:
>
> [mm]\bruch{u(t+\bruch{2}{n})-2*u(t)+u(t-\bruch{2}{n})}{\bruch{2}{n}^2} +t*\bruch{u(t+\bruch{2}{n})-u(t-\bruch{2}{n})}{2*\bruch{2}{n}}+2*u(t)=f(t)[/mm]
>
> In dieser Gleichung ist also Unbekannt: [mm]u(t+\bruch{2}{n}),[/mm]
> u(t) und [mm]u(t-\bruch{2}{n})[/mm]
>
> Das t ist ja bekannt. Das ist doch das Intervall [0,2]
> oder?
> n ist hier erstmal nicht bekannt, wird aber normalerweise
> festgelegt oder?
>
> Ist das denn bis hierhin überhaupt richtig?
Ja.
Du hast jetzt lauter solcher Gleichungen,
wobei die Randwerte jeweils bekannt sind.
Setze dazu [mm]t_{k}:=k*h, \ u_{k}=u\left(t_{k}\right)[/mm]
Dann ergibt sich doch:
[mm]\bruch{u_{k+2}-2*u_{k+1}+u_{k}}{h^2} +t_{k+1}*\bruch{u_{k+2}-u_{k}}{2*h}+2*u_{k+1}=f(t_{k+1})[/mm]
Die Gleichungen sind für k=0 bis n-2 aufzustellen.
> Mein nächster Gedanke wäre jetzt, die obige Gleichung in
> Form von Au=b umzuschreiben...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo MathePower,
Danke für deine Antwort.
>
> Setze dazu [mm]t_{k}:=k*h, \ u_{k}=u\left(t_{k}\right)[/mm]
Wozu muss man das machen? Was bringt das? Und wofür steht das k?
Wieso k*h ?
>
> Dann ergibt sich doch:
>
> [mm]\bruch{u_{k+2}-2*u_{k+1}+u_{k}}{h^2} +t_{k+1}*\bruch{u_{k+2}-u_{k}}{2*h}+2*u_{k+1}=f(t_{k+1})[/mm]
>
> Die Gleichungen sind für k=0 bis n-2 aufzustellen.
Wie kommt man auf k=0 bis k=n-2 ?
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Hallo Jack159,
> Hallo MathePower,
> Danke für deine Antwort.
>
>
> >
> > Setze dazu [mm]t_{k}:=k*h, \ u_{k}=u\left(t_{k}\right)[/mm]
>
> Wozu muss man das machen? Was bringt das? Und wofür steht
> das k?
Für die Diskretisierung ist das sinnvoll.
Das bringt eine wesentliche Vereinfachun für die weitere Rechung.
Das "k" gibt die k.te Stützstelle an.
> Wieso k*h ?
>
h ist doch die Schrittweite.
>
> >
> > Dann ergibt sich doch:
> >
> > [mm]\bruch{u_{k+2}-2*u_{k+1}+u_{k}}{h^2} +t_{k+1}*\bruch{u_{k+2}-u_{k}}{2*h}+2*u_{k+1}=f(t_{k+1})[/mm]
>
> >
> > Die Gleichungen sind für k=0 bis n-2 aufzustellen.
>
> Wie kommt man auf k=0 bis k=n-2 ?
0 wegen kleinster Index von u.
n-2 wegen der angegebenen Gleichung.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 So 24.06.2012 | | Autor: | Jack159 |
> Hallo Jack159,
>
> > Hallo MathePower,
> > Danke für deine Antwort.
> >
> >
> > >
> > > Setze dazu [mm]t_{k}:=k*h, \ u_{k}=u\left(t_{k}\right)[/mm]
> >
> > Wozu muss man das machen? Was bringt das? Und wofür steht
> > das k?
>
>
> Für die Diskretisierung ist das sinnvoll.
>
> Das bringt eine wesentliche Vereinfachun für die weitere
> Rechung.
>
> Das "k" gibt die k.te Stützstelle an.
Inwiefern vereinfacht das meine weitere Rechnung?
>
>
> > Wieso k*h ?
> >
>
>
> h ist doch die Schrittweite.
[mm] u_{k}=u\left(t_{k}\right) [/mm]
Was genau wird damit ausgedrückt? Wozu ist das gut?
Soll das einfach nur Schreibarbeit sparen?
>
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Hallo Jack159,
> > Hallo Jack159,
> >
> > > Hallo MathePower,
> > > Danke für deine Antwort.
> > >
> > >
> > > >
> > > > Setze dazu [mm]t_{k}:=k*h, \ u_{k}=u\left(t_{k}\right)[/mm]
> >
> >
> > > Wozu muss man das machen? Was bringt das? Und wofür steht
> > > das k?
> >
> >
> > Für die Diskretisierung ist das sinnvoll.
> >
> > Das bringt eine wesentliche Vereinfachun für die weitere
> > Rechung.
> >
> > Das "k" gibt die k.te Stützstelle an.
> Inwiefern vereinfacht das meine weitere Rechnung?
>
Das vereinfacht die Rechung insofern, daß Du kein [mm]t+\bruch{2}{n}, \ t , \ t-\bruch{2}{n}[/mm] mitschleppen musst.
>
>
> >
> >
> > > Wieso k*h ?
> > >
> >
> >
> > h ist doch die Schrittweite.
>
> [mm]u_{k}=u\left(t_{k}\right)[/mm]
>
> Was genau wird damit ausgedrückt? Wozu ist das gut?
Der Funktionswert an der Stelle [mm]t_{k}[/mm].
> Soll das einfach nur Schreibarbeit sparen?
>
Ja.
> >
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Sa 21.07.2012 | | Autor: | Jack159 |
> Hallo Jack159,
>
> > Gegeben ist die Randwertaufgabe
> > u''(t)+t*u'(t)+2*u(t)=f(t),
> > u(0)=0, u(2)=1 mit gegebenem f: [0, 2] [mm]\to \IR[/mm] .
> > Diskretisieren Sie die RWA mit h=2/n und den
> > Differenzformeln
> > u''(t) [mm]\approx \bruch{u(t+h)-2*u(t)+u(t-h)}{h^2}[/mm]
> > und
> > u'(t) [mm]\approx \bruch{u(t+h)-u(t-h)}{2*h}[/mm]
> >
> > Stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem Au=b
> > auf.
> > Hallo,
> >
> > Zu diesem Thema bin ich noch sehr unerfahren...Ich habe
> > hier einen Lösungsvorschlag/lösungsansatz (Au=b
> > aufstellen lasse ich erstmal außen vor), bin mir aber
> > nicht sicher ob dieser wirklich richtig ist...
> >
> > Ich würde jetzt zunächst erstmal in u''(t) und u'(t)
> > jeweils h durch [mm]\bruch{2}{n}[/mm] ersetzen.
> > Dann würde ich in der Gleichung
> > u''(t)+t*u'(z)+2*u(t)=f(t)
> > jeweils u''(t) und u'(t) durch die jeweilige andere
> Seite
> > ersetzen.
> > Also:
> >
> >
> [mm]\bruch{u(t+\bruch{2}{n})-2*u(t)+u(t-\bruch{2}{n})}{\bruch{2}{n}^2} +t*\bruch{u(t+\bruch{2}{n})-u(t-\bruch{2}{n})}{2*\bruch{2}{n}}+2*u(t)=f(t)[/mm]
>
> >
> > In dieser Gleichung ist also Unbekannt: [mm]u(t+\bruch{2}{n}),[/mm]
> > u(t) und [mm]u(t-\bruch{2}{n})[/mm]
> >
> > Das t ist ja bekannt. Das ist doch das Intervall [0,2]
> > oder?
> > n ist hier erstmal nicht bekannt, wird aber
> normalerweise
> > festgelegt oder?
> >
> > Ist das denn bis hierhin überhaupt richtig?
>
>
> Ja.
>
> Du hast jetzt lauter solcher Gleichungen,
> wobei die Randwerte jeweils bekannt sind.
>
> Setze dazu [mm]t_{k}:=k*h, \ u_{k}=u\left(t_{k}\right)[/mm]
>
> Dann ergibt sich doch:
>
> [mm]\bruch{u_{k+2}-2*u_{k+1}+u_{k}}{h^2} +t_{k+1}*\bruch{u_{k+2}-u_{k}}{2*h}+2*u_{k+1}=f(t_{k+1})[/mm]
>
> Die Gleichungen sind für k=0 bis n-2 aufzustellen.
Ich verstehe noch immer nicht, wie du/man auf die "neuen" Indizes kommst.
Beispiel:
Von [mm] u(t+\bruch{2}{n}) [/mm] gehst du auf [mm] u_{k+2} [/mm] über.
Dass [mm] u(t)=u_{k} [/mm] sein soll, habe ich inzwischen verstanden. Aber wie kommst du dann noch auf [mm] \bruch{2}{n}=2 [/mm] ?
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Hallo Jack159,
> > Hallo Jack159,
> >
> > > Gegeben ist die Randwertaufgabe
> > > u''(t)+t*u'(t)+2*u(t)=f(t),
> > > u(0)=0, u(2)=1 mit gegebenem f: [0, 2] [mm]\to \IR[/mm] .
> > > Diskretisieren Sie die RWA mit h=2/n und den
> > > Differenzformeln
> > > u''(t) [mm]\approx \bruch{u(t+h)-2*u(t)+u(t-h)}{h^2}[/mm]
> > > und
> > > u'(t) [mm]\approx \bruch{u(t+h)-u(t-h)}{2*h}[/mm]
> > >
> > > Stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem Au=b
> > > auf.
> > > Hallo,
> > >
> > > Zu diesem Thema bin ich noch sehr unerfahren...Ich habe
> > > hier einen Lösungsvorschlag/lösungsansatz (Au=b
> > > aufstellen lasse ich erstmal außen vor), bin mir aber
> > > nicht sicher ob dieser wirklich richtig ist...
> > >
> > > Ich würde jetzt zunächst erstmal in u''(t) und u'(t)
> > > jeweils h durch [mm]\bruch{2}{n}[/mm] ersetzen.
> > > Dann würde ich in der Gleichung
> > > u''(t)+t*u'(z)+2*u(t)=f(t)
> > > jeweils u''(t) und u'(t) durch die jeweilige andere
> > Seite
> > > ersetzen.
> > > Also:
> > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{u(t+\bruch{2}{n})-2*u(t)+u(t-\bruch{2}{n})}{\bruch{2}{n}^2} +t*\bruch{u(t+\bruch{2}{n})-u(t-\bruch{2}{n})}{2*\bruch{2}{n}}+2*u(t)=f(t)[/mm]
>
> >
> > >
> > > In dieser Gleichung ist also Unbekannt: [mm]u(t+\bruch{2}{n}),[/mm]
> > > u(t) und [mm]u(t-\bruch{2}{n})[/mm]
> > >
> > > Das t ist ja bekannt. Das ist doch das Intervall [0,2]
> > > oder?
> > > n ist hier erstmal nicht bekannt, wird aber
> > normalerweise
> > > festgelegt oder?
> > >
> > > Ist das denn bis hierhin überhaupt richtig?
> >
> >
> > Ja.
> >
> > Du hast jetzt lauter solcher Gleichungen,
> > wobei die Randwerte jeweils bekannt sind.
> >
> > Setze dazu [mm]t_{k}:=k*h, \ u_{k}=u\left(t_{k}\right)[/mm]
> >
> > Dann ergibt sich doch:
> >
> > [mm]\bruch{u_{k+2}-2*u_{k+1}+u_{k}}{h^2} +t_{k+1}*\bruch{u_{k+2}-u_{k}}{2*h}+2*u_{k+1}=f(t_{k+1})[/mm]
>
> >
> > Die Gleichungen sind für k=0 bis n-2 aufzustellen.
>
> Ich verstehe noch immer nicht, wie du/man auf die "neuen"
> Indizes kommst.
>
> Beispiel:
>
> Von [mm]u(t+\bruch{2}{n})[/mm] gehst du auf [mm]u_{k+2}[/mm] über.
>
> Dass [mm]u(t)=u_{k}[/mm] sein soll, habe ich inzwischen verstanden.
> Aber wie kommst du dann noch auf [mm]\bruch{2}{n}=2[/mm] ?
>
Zunächst ist doch [mm]h=\bruch{2}{n}[/mm]
Dann stehen in der Disketisierung der DGL [mm]u\left(t+h\right), \ u\left(t\right),\ u\left(t-h)[/mm]
Hier liegt es nahe folgende Definitionen zu treffen:
[mm]u_{k}:=u\left(t-h\right)[/mm]
[mm]u_{k+1}:=u\left(t\right)=u\left(t-h+\blue{h}\right)[/mm]
[mm]u_{k+2}:=u\left(t+h\right)=u\left(t-h+\blue{2*h}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Sa 21.07.2012 | | Autor: | Jack159 |
> Zunächst ist doch [mm]h=\bruch{2}{n}[/mm]
>
> Dann stehen in der Disketisierung der DGL
> [mm]u\left(t+h\right), \ u\left(t\right),\ u\left(t-h)[/mm]
>
> Hier liegt es nahe folgende Definitionen zu treffen:
>
> [mm]u_{k}:=u\left(t-h\right)[/mm]
>
> [mm]u_{k+1}:=u\left(t\right)=u\left(t-h+\blue{h}\right)[/mm]
>
> [mm]u_{k+2}:=u\left(t+h\right)=u\left(t-h+\blue{2*h}\right)[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
Hallo MathePower,
Achso, die Bezeichnungen sind also willkürlich gewählt?!
Ich könnte also auch wie folgt definieren?:
[mm] u_{i-1}:=u\left(t-h\right)
[/mm]
[mm] u_{i}:=u\left(t\right)
[/mm]
[mm] u_{i+1}:=u\left(t+h\right)
[/mm]
Dann ergeben sich ja folgende Gleichungen:
[mm] \bruch{u_{i+1}-2\cdot{}u_{i}+u_{i-1}}{h^2} +t_{i}\cdot{}\bruch{u_{i+1}-u_{i-1}}{2\cdot{}h}+2\cdot{}u_{i}=f(t_{i}) [/mm] Für i = 1,...,n
Müsste soweit erstmal stimmen oder?
Jetzt könnte man das gesamte Gleichungssystem ja auch in Matrixschreibweise mit Ax=b schreiben. Dazu wäre aber erst eine bzw. mehrere Umformungen der obigen Gleichung notwenig:
[mm] \bruch{u_{i+1}-2\cdot{}u_{i}+u_{i-1}}{h^2} +t_{i}\cdot{}\bruch{u_{i+1}-u_{i-1}}{2\cdot{}h}+2\cdot{}u_{i}=f(t_{i}) [/mm] | [mm] *h^2
[/mm]
[mm] \gdw u_{i+1}-2\cdot{}u_{i}+u_{i-1} +h^2*t_{i}\cdot{}\bruch{u_{i+1}-u_{i-1}}{2\cdot{}h}+h^2*2\cdot{}u_{i}=h^2*f(t_{i}) [/mm] | *2h
[mm] \gdw 2h*(u_{i+1}-2\cdot{}u_{i}+u_{i-1}) +h^2*t_{i}*(u_{i+1}-u_{i-1})+2h^3*2\cdot{}u_{i}=2h^3*f(t_{i}) [/mm] | :h
[mm] \gdw 2*(u_{i+1}-2\cdot{}u_{i}+u_{i-1}) +h*t_{i}*(u_{i+1}-u_{i-1})+2h^2*2\cdot{}u_{i}=2h^2*f(t_{i}) [/mm]
[mm] \gdw (2+h*t_{i})u_{i+1}+(4h^2-4)u_{i}+(2-t_{i}*h)u_{i-1}=2h^2*f(ti)
[/mm]
Nun kann man diese Gleichung bzw. das ganze GLeichungssystem ja als Matrixschreibweise Ax=b aufschreiben:
[mm] A=\pmat{ 4h^2-4 & 2+h*t_{i} & 0 & ... & ... & 0 \\ 2-t_{i}*h & 4h^2-4 & 2+h*t_{i} & ... & ... & 0 \\ 0 & 2-t_{i}*h & 4h^2-4 & ... & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & ... & ... & 2+h*t_{i} \\ 0 & ... & ... & ... & 2-t_{i}*h & 4h^2-4 }
[/mm]
[mm] x=\vektor{u1 \\ u2 \\ ... \\ un}
[/mm]
[mm] b=\vektor{2h^2*f(ti) \\ 2h^2*f(ti) \\ ... \\ 2h^2*f(ti) \\ 2h^2*f(ti)}
[/mm]
Die Matrix A und der Vektor x müssten richtig sein. Was noch falsch sein müsste, ist die 1. und letzte Zeile des Vektors b.
Bei der 1. und letzten Zeile des Vektors b kommt ja noch was hinzu, aber was?
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Hallo Jack159,
> > Zunächst ist doch [mm]h=\bruch{2}{n}[/mm]
> >
> > Dann stehen in der Disketisierung der DGL
> > [mm]u\left(t+h\right), \ u\left(t\right),\ u\left(t-h)[/mm]
> >
> > Hier liegt es nahe folgende Definitionen zu treffen:
> >
> > [mm]u_{k}:=u\left(t-h\right)[/mm]
> >
> > [mm]u_{k+1}:=u\left(t\right)=u\left(t-h+\blue{h}\right)[/mm]
> >
> > [mm]u_{k+2}:=u\left(t+h\right)=u\left(t-h+\blue{2*h}\right)[/mm]
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
>
> Hallo MathePower,
>
> Achso, die Bezeichnungen sind also willkürlich gewählt?!
> Ich könnte also auch wie folgt definieren?:
>
> [mm]u_{i-1}:=u\left(t-h\right)[/mm]
>
> [mm]u_{i}:=u\left(t\right)[/mm]
>
> [mm]u_{i+1}:=u\left(t+h\right)[/mm]
>
Ja.
>
> Dann ergeben sich ja folgende Gleichungen:
>
> [mm]\bruch{u_{i+1}-2\cdot{}u_{i}+u_{i-1}}{h^2} +t_{i}\cdot{}\bruch{u_{i+1}-u_{i-1}}{2\cdot{}h}+2\cdot{}u_{i}=f(t_{i})[/mm]
> Für i = 1,...,n
>
Schreibe das doch explizit für den ersten und letzten Index auf:
[mm]i=1:\bruch{u_{\blue{1}+1}-2\cdot{}u_{\blue{1}}+u_{\blue{1}-1}}{h^2} +t_{\blue{1}}\cdot{}\bruch{u_{\blue{1}+1}-u_{\blue{1}-1}}{2\cdot{}h}+2\cdot{}u_{\blue{1}}=f(t_{\blue{1}})[/mm]
[mm]i=n:\bruch{u_{\blue{n}+1}-2\cdot{}u_{\blue{n}}+u_{\blue{n}-1}}{h^2} +t_{\blue{n}}\cdot{}\bruch{u_{\blue{n}+1}-u_{\blue{n}-1}}{2\cdot{}h}+2\cdot{}u_{\blue{n}}=f(t_{\blue{n}})[/mm]
Daraus ist erkennbar, daß der Index i von 1 bis n-1 läuft.
Letzte Gleichung lautet demnach:
[mm]i=n-1:\bruch{u_{\blue{n-1}+1}-2\cdot{}u_{\blue{n-1}}+u_{\blue{n-1}-1}}{h^2} +t_{\blue{n-1}}\cdot{}\bruch{u_{\blue{n-1}+1}-u_{\blue{n-1}-1}}{2\cdot{}h}+2\cdot{}u_{\blue{n-1}}=f(t_{\blue{n-1}})[/mm]
Schreibst Du das für alle i von 1 bis n-1 auf,
so ergibt das ein Gleichungssystem zur Bestimmung
von [mm]u_{i}, \ i=1,\ ..., \ n-1[/mm]
>
> Müsste soweit erstmal stimmen oder?
>
> Jetzt könnte man das gesamte Gleichungssystem ja auch in
> Matrixschreibweise mit Ax=b schreiben. Dazu wäre aber erst
> eine bzw. mehrere Umformungen der obigen Gleichung
> notwenig:
>
>
> [mm]\bruch{u_{i+1}-2\cdot{}u_{i}+u_{i-1}}{h^2} +t_{i}\cdot{}\bruch{u_{i+1}-u_{i-1}}{2\cdot{}h}+2\cdot{}u_{i}=f(t_{i})[/mm]
> | [mm]*h^2[/mm]
>
> [mm]\gdw u_{i+1}-2\cdot{}u_{i}+u_{i-1} +h^2*t_{i}\cdot{}\bruch{u_{i+1}-u_{i-1}}{2\cdot{}h}+h^2*2\cdot{}u_{i}=h^2*f(t_{i})[/mm]
> | *2h
>
> [mm]\gdw 2h*(u_{i+1}-2\cdot{}u_{i}+u_{i-1}) +h^2*t_{i}*(u_{i+1}-u_{i-1})+2h^3*2\cdot{}u_{i}=2h^3*f(t_{i})[/mm]
> | :h
>
> [mm]\gdw 2*(u_{i+1}-2\cdot{}u_{i}+u_{i-1}) +h*t_{i}*(u_{i+1}-u_{i-1})+2h^2*2\cdot{}u_{i}=2h^2*f(t_{i})[/mm]
>
> [mm]\gdw (2+h*t_{i})u_{i+1}+(4h^2-4)u_{i}+(2-t_{i}*h)u_{i-1}=2h^2*f(ti)[/mm]
>
>
> Nun kann man diese Gleichung bzw. das ganze
> GLeichungssystem ja als Matrixschreibweise Ax=b
> aufschreiben:
>
> [mm]A=\pmat{ 4h^2-4 & 2+h*t_{i} & 0 & ... & ... & 0 \\ 2-t_{i}*h & 4h^2-4 & 2+h*t_{i} & ... & ... & 0 \\ 0 & 2-t_{i}*h & 4h^2-4 & ... & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & ... & ... & 2+h*t_{i} \\ 0 & ... & ... & ... & 2-t_{i}*h & 4h^2-4 }[/mm]
>
>
> [mm]x=\vektor{u1 \\ u2 \\ ... \\ un}[/mm]
>
> [mm]b=\vektor{2h^2*f(ti) \\ 2h^2*f(ti) \\ ... \\ 2h^2*f(ti) \\ 2h^2*f(ti)}[/mm]
>
>
> Die Matrix A und der Vektor x müssten richtig sein. Was
> noch falsch sein müsste, ist die 1. und letzte Zeile des
> Vektors b.
> Bei der 1. und letzten Zeile des Vektors b kommt ja noch
> was hinzu, aber was?
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 So 22.07.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo MathePower,
Danke für deine Antwort.
> Ja.
>
>
> >
> > Dann ergeben sich ja folgende Gleichungen:
> >
> > [mm]\bruch{u_{i+1}-2\cdot{}u_{i}+u_{i-1}}{h^2} +t_{i}\cdot{}\bruch{u_{i+1}-u_{i-1}}{2\cdot{}h}+2\cdot{}u_{i}=f(t_{i})[/mm]
> > Für i = 1,...,n
> >
>
>
> Schreibe das doch explizit für den ersten und letzten
> Index auf:
>
> [mm]i=1:\bruch{u_{\blue{1}+1}-2\cdot{}u_{\blue{1}}+u_{\blue{1}-1}}{h^2} +t_{\blue{1}}\cdot{}\bruch{u_{\blue{1}+1}-u_{\blue{1}-1}}{2\cdot{}h}+2\cdot{}u_{\blue{1}}=f(t_{\blue{1}})[/mm]
>
> [mm]i=n:\bruch{u_{\blue{n}+1}-2\cdot{}u_{\blue{n}}+u_{\blue{n}-1}}{h^2} +t_{\blue{n}}\cdot{}\bruch{u_{\blue{n}+1}-u_{\blue{n}-1}}{2\cdot{}h}+2\cdot{}u_{\blue{n}}=f(t_{\blue{n}})[/mm]
>
> Daraus ist erkennbar, daß der Index i von 1 bis n-1
> läuft.
Wieso bis n-1? Ich hätte jetzt gesagt, dass der Index i von 1 bis n+1 läuft, denn der größte Index hier ist doch n+1 und nicht n-1 ?
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Hallo Jack159,
> Hallo MathePower,
> Danke für deine Antwort.
>
> > Ja.
> >
> >
> > >
> > > Dann ergeben sich ja folgende Gleichungen:
> > >
> > > [mm]\bruch{u_{i+1}-2\cdot{}u_{i}+u_{i-1}}{h^2} +t_{i}\cdot{}\bruch{u_{i+1}-u_{i-1}}{2\cdot{}h}+2\cdot{}u_{i}=f(t_{i})[/mm]
> > > Für i = 1,...,n
> > >
> >
> >
> > Schreibe das doch explizit für den ersten und letzten
> > Index auf:
> >
> >
> [mm]i=1:\bruch{u_{\blue{1}+1}-2\cdot{}u_{\blue{1}}+u_{\blue{1}-1}}{h^2} +t_{\blue{1}}\cdot{}\bruch{u_{\blue{1}+1}-u_{\blue{1}-1}}{2\cdot{}h}+2\cdot{}u_{\blue{1}}=f(t_{\blue{1}})[/mm]
> >
> >
> [mm]i=n:\bruch{u_{\blue{n}+1}-2\cdot{}u_{\blue{n}}+u_{\blue{n}-1}}{h^2} +t_{\blue{n}}\cdot{}\bruch{u_{\blue{n}+1}-u_{\blue{n}-1}}{2\cdot{}h}+2\cdot{}u_{\blue{n}}=f(t_{\blue{n}})[/mm]
> >
> > Daraus ist erkennbar, daß der Index i von 1 bis n-1
> > läuft.
>
> Wieso bis n-1? Ich hätte jetzt gesagt, dass der Index i
> von 1 bis n+1 läuft, denn der größte Index hier ist doch
> n+1 und nicht n-1 ?
>
Weil es nur n Invervalle der Länge h gibt.
Und [mm]u_{n}[/mm] der zu [mm]t_{n}=2[/mm] gehörige Funktionswert ist.
Gruss
MathePower
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