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| Aufgabe | [mm]u\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial y}=1[/mm]
[mm]u(x,y)=0.5x[/mm]
[mm]x,y>2[/mm] |
Hallo,
ich hab noch mal eine aufgabe mit einem randwertprob. das mit hilfe der methode der charakteristik gelöst werden soll.
als erstes hab ich wieder die Parametrisierung.
[mm] \gamma [/mm] (s)=(s,v,0.5s)
system der charakteristiken
[mm] x_{t}(t,s)=u [/mm]
[mm] y_{t}(t,s)=1 [/mm]
[mm] u_{t}(t,s)=1
[/mm]
mit
[mm]x(0,s)=s[/mm]
[mm]y(0,s)=v[/mm]
[mm]u(0,s)=0.5s[/mm]
system der gew. DGL
[mm] x(t,s)=c_{1}(s)sin(t)+c2(s)cos(t) [/mm] -->stimmt das?
[mm] y(t,s)=t+c_{3}(s) [/mm] -->oder c2 ???
[mm] u(t,s)=t+c_{4}(s)
[/mm]
lösung muss anfangsbed erfüllen
[mm]s=x(0,s)=c2(s)[/mm]
[mm]v=y(0,s)=c3(s)[/mm]
[mm]0.5s=u(0,s)=c4(s)[/mm]
stimmt das soweit?
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Hallo Sabrinchen101,
> [mm]u\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial y}=1[/mm]
>
> [mm]u(x,y)=0.5x[/mm]
Möglicherweise ist hier [mm]u(x,\blue{0})=0.5x[/mm] gemeint.
> [mm]x,y>2[/mm]
> Hallo,
> ich hab noch mal eine aufgabe mit einem randwertprob. das
> mit hilfe der methode der charakteristik gelöst werden
> soll.
>
> als erstes hab ich wieder die Parametrisierung.
> [mm]\gamma[/mm] (s)=(s,v,0.5s)
>
> system der charakteristiken
> [mm]x_{t}(t,s)=u[/mm]
> [mm]y_{t}(t,s)=1[/mm]
> [mm]u_{t}(t,s)=1[/mm]
>
> mit
> [mm]x(0,s)=s[/mm]
> [mm]y(0,s)=v[/mm]
> [mm]u(0,s)=0.5s[/mm]
>
> system der gew. DGL
> [mm]x(t,s)=c_{1}(s)sin(t)+c2(s)cos(t)[/mm] -->stimmt das?
Nein, das stimmt nicht.
> [mm]y(t,s)=t+c_{3}(s)[/mm] -->oder c2 ???
> [mm]u(t,s)=t+c_{4}(s)[/mm]
>
Es ist doch:
[mm]x_{t}=u=t+c_{4}[/mm]
Daraus ergibt sich die Lösung x.
> lösung muss anfangsbed erfüllen
> [mm]s=x(0,s)=c2(s)[/mm]
> [mm]v=y(0,s)=c3(s)[/mm]
> [mm]0.5s=u(0,s)=c4(s)[/mm]
>
> stimmt das soweit?
Gruss
MathePower
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zur aufgabenstellung: es soll heißen u(x,x)=0.5x
wenn [mm] x_{t}(t,s)=u=t+c_{4} [/mm] ist, ist dann [mm] x=0.5t^2+c_{4}*t+c_{1} [/mm] ??
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Hallo Sabrinchen101,
> zur aufgabenstellung: es soll heißen u(x,x)=0.5x
>
> wenn [mm]x_{t}(t,s)=u=t+c_{4}[/mm] ist, ist dann
> [mm]x=0.5t^2+c_{4}*t+c_{1}[/mm] ??
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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okay :)
dann muss die lösung noch die anfangsbedingungen erfüllen.
s=x(0,s)=c1(s)
v=y(0,s)=c3(s)
0.5s=u(0,s)=c4(s)
und
[mm] x(t,s)=0.5t^2+c4*t+s
[/mm]
y(t,s)=v+t
u(t,s)=0.5s+t
dann die ersten beiden gleichungen nach s und t auflösen
aus II: t=y-v
II in I: [mm] 0.5(y-v)^2+c_{4}(y-v)+s=x
[/mm]
<=> [mm] s=x-0.5(y-v)^2-c_{4}(y-v)
[/mm]
s und t in u
u=0.5s+t= [mm] 0.5(0.5(y-v)^2+c_{4}(y-v))+y-v
[/mm]
und noch vereinfachen, aber ich hab noch ein c drin, macht das was??
frohe Ostern :)
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Hallo Sabrinchen101,
> okay :)
> dann muss die lösung noch die anfangsbedingungen
> erfüllen.
> s=x(0,s)=c1(s)
> v=y(0,s)=c3(s)
Diese Anfangsbedingung muss doch lauten:
[mm]\blue{s}=y\left(0,s\right)=c_{3}\left(s\right)[/mm]
> 0.5s=u(0,s)=c4(s)
>
> und
> [mm]x(t,s)=0.5t^2+c4*t+s[/mm]
> y(t,s)=v+t
> u(t,s)=0.5s+t
>
> dann die ersten beiden gleichungen nach s und t auflösen
>
> aus II: t=y-v
> II in I: [mm]0.5(y-v)^2+c_{4}(y-v)+s=x[/mm]
> <=> [mm]s=x-0.5(y-v)^2-c_{4}(y-v)[/mm]
>
> s und t in u
>
> u=0.5s+t= [mm]0.5(0.5(y-v)^2+c_{4}(y-v))+y-v[/mm]
> und noch vereinfachen, aber ich hab noch ein c drin, macht
> das was??
> frohe Ostern :)
Danke gleichfalls.
Gruss
MathePower
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stimmt dann die parametrisierung? oder muss es dann acuh [mm] \gamma(s)=(s,s,0.5s) [/mm] heißen?
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Hallo Sabrinchen101,
> stimmt dann die parametrisierung? oder muss es dann acuh
> [mm]\gamma(s)=(s,s,0.5s)[/mm] heißen?
Es muss dann auch
[mm]\gamma(s)=(s,s,0.5s)[/mm]
heißen.
Gruss
MathePower
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mein system von gew DGL ist ja
[mm] x(s,t)=0.5t^2+c4(s)*t+c1(s)
[/mm]
y(s,t)=t+c3(s)
u(s,t)=t+c4(s)
die lsg muss die anfangsbed erfüllen
s=x(0,s)=c1(s)
s=y(0,s)=c3(s)
0.5s=u(0,s)=c4(s)
und dann
[mm] x(s,t)=0.5t^2+0.5s*t+s
[/mm]
y(s,t)=t+s
u(s,t)=t+0.5s
aus II s=y-t
II in I : [mm] x=0.5t^2+0.5s*t+s
[/mm]
[mm] =0.5t^2+0.5(y-t)t+y-t
[/mm]
=t(0.5y-1)+y
[mm] t=\frac{x-y}{0.5y-1}
[/mm]
dann t und s in III
stimmt das so?
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Hallo Sabrinchen101,
> mein system von gew DGL ist ja
> [mm]x(s,t)=0.5t^2+c4(s)*t+c1(s)[/mm]
> y(s,t)=t+c3(s)
> u(s,t)=t+c4(s)
>
> die lsg muss die anfangsbed erfüllen
> s=x(0,s)=c1(s)
> s=y(0,s)=c3(s)
> 0.5s=u(0,s)=c4(s)
>
> und dann
> [mm]x(s,t)=0.5t^2+0.5s*t+s[/mm]
> y(s,t)=t+s
> u(s,t)=t+0.5s
>
> aus II s=y-t
> II in I : [mm]x=0.5t^2+0.5s*t+s[/mm]
> [mm]=0.5t^2+0.5(y-t)t+y-t[/mm]
> =t(0.5y-1)+y
>
> [mm]t=\frac{x-y}{0.5y-1}[/mm]
>
> dann t und s in III
>
> stimmt das so?
>
Ja, das stimmt so.
Gruss
MathePower
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