Randwertproblem < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Di 18.10.2011 | | Autor: | math101 |
Hallo, zusmmen!
Ich muss das folgende Randwertproblem auf die Standardform
[mm] \mathcal{Y}'(x)=f(x,\mathcal{Y}), r(\mathcal{Y}(0), \mathcal{Y}(1))=0
[/mm]
bringen, aber ich habe überhaupt keine Ahnung, wie man es macht... Wäre super, wenn mir jemand von Euch helfen würde.
y"(x)=100 y(x)+z(x)
z'(x)=sin(y(x)) +x
y(0)=1
y(1)=1
z(0)=z(1)
Danke im Voraus
Besete Grüße
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Hallo math101,
> Hallo, zusmmen!
> Ich muss das folgende Randwertproblem auf die Standardform
> [mm]\mathcal{Y}'(x)=f(x,\mathcal{Y}), r(\mathcal{Y}(0), \mathcal{Y}(1))=0[/mm]
>
> bringen, aber ich habe überhaupt keine Ahnung, wie man es
> macht... Wäre super, wenn mir jemand von Euch helfen
> würde.
>
> y"(x)=100 y(x)+z(x)
> z'(x)=sin(y(x)) +x
> y(0)=1
> y(1)=1
> z(0)=z(1)
Anders geschrieben:
[mm]z\left(0\right)=\eta, \ z\left(1\right)= \eta[/mm]
Um homogene Randbedingungen sind zunächst 2 neue Funktionen einzuführen:
[mm]}\tilde{y}=y-1, \ \tilde{z}=z-\eta[/mm]
>
Angesichts der Randbedingungen muß das DGL-System doch so lauten:
[mm]y''(x)=100 y(x)+z(x)[/mm]
[mm]z'\blue{'}(x)=sin(y(x)) +x[/mm]
Transformiere dieses DGL-System 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung.
> Danke im Voraus
> Besete Grüße #
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Di 18.10.2011 | | Autor: | math101 |
Hallo, MathePower!
Herzlichen Dank für deine Hilfe!!
Also habe ich folgendes gemacht:
[mm] \mathcal{Y}_1(x)=y(x)
[/mm]
[mm] \mathcal{Y}_2(x)=y'(x)
[/mm]
[mm] \mathcal{Y}_3(x)=z(x)
[/mm]
[mm] \mathcal{Y}_4(x)=z'(x)
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \mathcal{Y}'_1(x)=\mathcal{Y}_2(x)
[/mm]
[mm] \mathcal{Y}'_2(x)=100\mathcal{Y}_1(x)+\mathcal{Y}_3(x)
[/mm]
[mm] \mathcal{Y}'_3(x)=\mathcal{Y}_4(x)
[/mm]
[mm] \mathcal{Y}'_4(x)=sin(\mathcal{Y}_1(x))+x
[/mm]
und
[mm] r_1(\mathcal{Y}(0),\mathcal{Y}(1))=\mathcal{Y}_1(0)-1
[/mm]
[mm] r_2(\mathcal{Y}(0),\mathcal{Y}(1))=\mathcal{Y}_1(1)-1
[/mm]
[mm] r_3(\mathcal{Y}(0),\mathcal{Y}(1))=\mathcal{Y}_3(0)-\eta
[/mm]
[mm] r_4(\mathcal{Y}(0),\mathcal{Y}(1))=\mathcal{Y}_3(1)-\eta
[/mm]
Ist das richtig so?
Beste Grüße
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Hallo math101,
> Hallo, MathePower!
> Herzlichen Dank für deine Hilfe!!
>
> Also habe ich folgendes gemacht:
>
> [mm]\mathcal{Y}_1(x)=y(x)[/mm]
> [mm]\mathcal{Y}_2(x)=y'(x)[/mm]
> [mm]\mathcal{Y}_3(x)=z(x)[/mm]
> [mm]\mathcal{Y}_4(x)=z'(x)[/mm]
>
> Dann gilt:
>
> [mm]\mathcal{Y}'_1(x)=\mathcal{Y}_2(x)[/mm]
> [mm]\mathcal{Y}'_2(x)=100\mathcal{Y}_1(x)+\mathcal{Y}_3(x)[/mm]
> [mm]\mathcal{Y}'_3(x)=\mathcal{Y}_4(x)[/mm]
> [mm]\mathcal{Y}'_4(x)=sin(\mathcal{Y}_1(x))+x[/mm]
>
> und
>
> [mm]r_1(\mathcal{Y}(0),\mathcal{Y}(1))=\mathcal{Y}_1(0)-1[/mm]
> [mm]r_2(\mathcal{Y}(0),\mathcal{Y}(1))=\mathcal{Y}_1(1)-1[/mm]
> [mm]r_3(\mathcal{Y}(0),\mathcal{Y}(1))=\mathcal{Y}_3(0)-\eta[/mm]
> [mm]r_4(\mathcal{Y}(0),\mathcal{Y}(1))=\mathcal{Y}_3(1)-\eta[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wenn Du allerdings korrekt sein willst,
dann müßtest Du m.E. das DGL-System auch
entsprechend der Randbedingungen transformieren.
Hier also:
[mm]\mathcal{Y}_{1}=\mathcal{\tilde{Y}}_{1}+1[/mm]
[mm]\mathcal{Y}_{3}=\mathcal{\tilde{Y}}_{3}+\eta[/mm]
> Ist das richtig so?
> Beste Grüße
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Di 18.10.2011 | | Autor: | math101 |
Vielen-vielen Dank für deine schnelle Hilfe!!
Beste Grüße
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