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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Mi 25.04.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Fundamental- und Partikülärlösung des Differentialoperators
[mm]Lu=u''+3u'[/mm]
Für Partikulärlösung: [mm]Lu=f(x)=e^{2x}[/mm]
Verwenden Sie den Ansatz [mm]u(x)=e^{\lambda*x}[/mm] |
Hallo :)
habe gerade dieses Bsp. gelöst, bin mir allerdings nicht sicher, ob es auch richtig ist. Hoffe ihr könnt mal drüber sehen :)
Hier mal die wichtigsten Berechnungen:
[mm]Lu=u''+3u'--> U(x)=A+B*e^{-3x}[/mm]
[mm]U(x)=\begin{cases} A(-)+B(-)*e^{-3x}, & \mbox{fuer } x<0 \\
A(+)+B(+)*e^{-3x}, & \mbox{fuer } x>0 \end{cases}[/mm]
Anschließend hab ich die Ableitung von U(x) betrachtet:
[mm]U'(x)=\begin{cases} \frac{-1}{3}B(-)*e^{-3x}, & \mbox{fuer } x<0 \\
\frac{-1}{3}B(+)*e^{-3x}, & \mbox{fuer } x>0 \end{cases}[/mm]
Ich weiß dass U'(0) einen Sprung der Höhe 1 hat also:
[mm]U'(U(+))-U'(U(-))=1[/mm]
woraus folgt dass:
[mm]1=\limes_{x\rightarrow 0} {\frac{-1}{3}B(+)*e^{-3x}}-\limes_{x\rightarrow 0} {\frac{-1}{3}B(-)*e^{-3x}}[/mm]
[mm]1=\frac{-B(+)}{3} - \frac{-B(-)}{3}[/mm]
Willkürliche Wahl von [mm] B(-)=0 [/mm] folgt [mm] B(+)=-3 [/mm]. Ebenfalls willkürlich $A(-)=A(+)=0$
[mm]U(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer } x<0 \\
-3*e^{-3x}, & \mbox{fuer } x>0 \end{cases}[/mm]
Die Partikulärlösung folgt aus:
[mm]u_p(x)=U*f(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{ U(x-\epsilon)f(\epsilon)dx}[/mm]
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ U(x-\epsilon)f(\epsilon)dx}=\frac{-3e^{2x}}{5}=u_p(x)[/mm]
Bin mir nicht ganz sicher ob das Stimmt, vorallem das mit meinen Konstanten A(+),A(-),B(-),B(+).
Liebe Grüße Meely :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Mi 25.04.2012 | | Autor: | meely |
Mein Prof. hat Folgende Lösung als Richtig erklärt:
[mm]U(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer } x<0 \\
(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\cdot{}e^{-3x}), & \mbox{fuer } x>0 \end{cases}[/mm]
[mm]u_p(x)=\frac{1}{10}e^{2x}[/mm]
Sind meine Berechnungen nun Falsch :( ? ich versteh nicht ganz warum er A(+) nicht 0 gesetzt hat.. bzw wieso B(+) so aussieht..
Liebe Grüße Meely
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Mi 25.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die überschrift ist: Randwertproblem. aber Randwerte hast du nicht vorgegeben damit kann man die aufgabe so nicht lösen. soll u(0)=0 sein? dann kanst du A+ nicht =0 wählen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mi 25.04.2012 | | Autor: | meely |
Hallo leduart,
> Hallo
> die überschrift ist: Randwertproblem. aber Randwerte hast
> du nicht vorgegeben damit kann man die aufgabe so nicht
> lösen. soll u(0)=0 sein? dann kanst du A+ nicht =0
> wählen.
Oh mir fällt gerade auf dass da was nicht passt.
Das Beispiel Gehört zum Thema "Poisson-Gleichung". Mein Professor will das Beispiel mit der Theorie der Fundamentallösung gelöst bekommen :/
Siehe auch hier (http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentall%C3%B6sung)
> Gruss leduart
Liebe Grüße Meely :)
PS: mehr als die obige Angabe habe ich leider nicht
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ich zeige dir mal den weg den ich gewählt habe:
[mm] U(x)=\begin{cases} A(-)+B(-)\cdot{}e^{-3x}, & \mbox{fuer } x<0 \\
A(+)+B(+)\cdot{}e^{-3x}, & \mbox{fuer } x>0 \end{cases} [/mm]
wir gehen davon aus dass k=2 .. also muss U(0+)=U(0-)=:0 damit stetig.
also folgt:
[mm]A(+)+(B+)=A(-)+B(-)=:0[/mm]
[mm]-A(+)=(B+) ; -A(-)=B(-)[/mm]
soweit so gut:
[mm] U(x)=\begin{cases} A(-)-A(-)\cdot{}e^{-3x}, & \mbox{fuer } x<0 \\
A(+)-A(+)\cdot{}e^{-3x}, & \mbox{fuer } x>0 \end{cases} [/mm]
Nun betrachten wir die "Identität" (mir fällt der richtige ausdruck grad nicht ein ^^):
[mm]LU(x)=\delta(x)[/mm]
und schreiben das als Integral:
[mm]\integral_{-a}^{a}{ LU(x)dx}=\integral_{-a}^{a}{u''(x)+3u'(x) dx}=\integral_{-a}^{a}{\delta(x)dx}=1[/mm]
(du solltest wissen dass die erste ableitung an der stelle x=0 einen sprung der höhe 1 hat)
daraus folgt:
[mm]U'(a)-U'(-a)+3(U(a)-U(-a))=1[/mm]
dann lassen wir [mm]a \rightarrow 0[/mm] gehen und erhalten:
[mm]U'(0)-U'(-0)=1[/mm]
was nichts anderes ist als:
[mm]3A(+)-3A(-)=1 \leftrightarrow \frac{1}{3}=A(+)-A(-)[/mm]
damits einfacher wird habe ich [mm]A(-)=0=-B(-)[/mm] gewählt.dann gilt [mm] \frac{1}{3}=A(+)=-B(+)[/mm]
Eingesetzt:
[mm] U(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer } x<0 \\
(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\cdot{}e^{-3x}), & \mbox{fuer } x>0 \end{cases} [/mm]
was deiner gewünschten Lösung entspricht..
[mm]u_p(x)=U*f[/mm] (Partikulärlösung durch Faltung):
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ U(x-\epsilon)f(\epsilon)dx}=\frac{1e^{2x}}{10}[/mm]
auch hier komme ich auf die lösung deines professors ...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 So 29.04.2012 | | Autor: | meely |
wow :D dankeschön. ich hab's verstanden glaube ich :D
den trick mit der stetigkeit vorher an zu wenden kannte ich nicht. hab geglaubt ich muss immer zuerst mit dem sprung der höhe 1 arbeiten
Liebe Grüße Meely
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Hallo nochmal,
was mir gerade eingefallen ist - du hättest auch als erstes
> Nun betrachten wir die "Identität" (mir fällt der richtige ausdruck grad > nicht ein ^^):
> [mm]LU(x)=\delta(x)[/mm]
> und schreiben das als Integral:
>[mm]\integral_{-a}^{a}{ LU(x)dx}=\integral_{-a}^{a}{u''(x)+3u'(x) dx}=\integral_{-a}^{a}{\delta(x)dx}=1[/mm]
>(du solltest wissen dass die erste ableitung an der stelle x=0 einen
> sprung der höhe 1 hat)
> daraus folgt:
> [mm]U'(a)-U'(-a)+3(U(a)-U(-a))=1[/mm]
machen können und anschließend
>wir gehen davon aus dass k=2 .. also muss U(0+)=U(0-)=:0 damit stetig.
>also folgt:
> [mm]A(+)+(B+)=A(-)+B(-)=:0[/mm]
> [mm]-A(+)=(B+) ; -A(-)=B(-)[/mm]
betrachten können.
Macht glaube ich keinen Unterschied.
LG Scherzkrapferl
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Hallo,
> Hier mal die wichtigsten Berechnungen:
>
>
> [mm]Lu=u''+3u'--> U(x)=A+B*e^{-3x}[/mm]
>
> [mm]U(x)=\begin{cases} A(-)+B(-)*e^{-3x}, & \mbox{fuer } x<0 \\
A(+)+B(+)*e^{-3x}, & \mbox{fuer } x>0 \end{cases}[/mm]
>
> Anschließend hab ich die Ableitung von U(x) betrachtet:
>
> [mm]U'(x)=\begin{cases} \frac{-1}{3}B(-)*e^{-3x}, & \mbox{fuer } x<0 \\
\frac{-1}{3}B(+)*e^{-3x}, & \mbox{fuer } x>0 \end{cases}[/mm]
Passt soweit.
>
> Ich weiß dass U'(0) einen Sprung der Höhe 1 hat also:
>
> [mm]U'(U(+))-U'(U(-))=1[/mm]
wenn U'(x) an der Stelle x=0 einen Sprung der Höhe 1 hat muss doch gelten:
[mm]U'(0(+))-U'(0(-))=1[/mm]
U'(U(+))-U'(U(-))=1 wäre doch [mm] U'(A(+)+B(+)*e^{-3x})-U'(A(-)+B(-)*e^{-3x})=1 [/mm] und das macht nicht viel sinn ..
>
> woraus folgt dass:
>
> [mm]1=\limes_{x\rightarrow 0} {\frac{-1}{3}B(+)*e^{-3x}}-\limes_{x\rightarrow 0} {\frac{-1}{3}B(-)*e^{-3x}}[/mm]
>
> [mm]1=\frac{-B(+)}{3} - \frac{-B(-)}{3}[/mm]
>
> Willkürliche Wahl von [mm]B(-)=0[/mm] folgt [mm]B(+)=-3 [/mm]. Ebenfalls
> willkürlich [mm]A(-)=A(+)=0[/mm]
>
> [mm]U(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer } x<0 \\
-3*e^{-3x}, & \mbox{fuer } x>0 \end{cases}[/mm]
>
>
> Die Partikulärlösung folgt aus:
>
> [mm]u_p(x)=U*f(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{ U(x-\epsilon)f(\epsilon)dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ U(x-\epsilon)f(\epsilon)dx}=\frac{-3e^{2x}}{5}=u_p(x)[/mm]
Faltung korrekt aba mit der falschen Lösung berechnet..
>
>
> Bin mir nicht ganz sicher ob das Stimmt, vorallem das mit
> meinen Konstanten A(+),A(-),B(-),B(+).
>
Siehe andere Antwort
>
> Liebe Grüße Meely :)
>
>
LG Scherzkrapferl
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