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| Aufgabe | Es seien A [mm] \in [/mm] M(m [mm] \times [/mm] n,K) mit Rang r und B [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] p,K) mit Rang s.
a) Es sei [mm] z_{i_{1}},...,z_{i_{r}} [/mm] eine Basis des Zeilenraums von A. Man zeige, dass [mm] z_{i_{1}}B,...,z_{i_{r}}B [/mm] ein Erzeugendensystem des Zeilenraums von AB ist.
b) Es sei [mm] s_{i_{1}},...,s_{i_{s}} [/mm] eine Basis des Spaltenraums von B. Man zeige, dass [mm] As_{i_{1}},...,As_{i_{s}} [/mm] ein Erzeugendensystem des Spaltenraums von AB ist.
c) Man beweise die folgende Ungleichung rang(AB) [mm] \le [/mm] min(rang(A),rang(B)) |
Ich denke,dass a) und b) eine Art Einleitung für die c) ist,aber leider weiß ich nicht wie ich zeigen soll,dass das ein Erzeugendensystem ist. Daher bitte ich um einen Ansatz!
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> Es seien A [mm]\in[/mm] M(m [mm]\times[/mm] n,K) mit Rang r und B [mm]\in[/mm] M(n
> [mm]\times[/mm] p,K) mit Rang s.
> a) Es sei [mm]z_{i_{1}},...,z_{i_{r}}[/mm] eine Basis des
> Zeilenraums von A. Man zeige, dass
> [mm]z_{i_{1}}B,...,z_{i_{r}}B[/mm] ein Erzeugendensystem des
> Zeilenraums von AB ist.
> [...]
> Ich denke,dass a) und b) eine Art Einleitung für die c)
> ist,aber leider weiß ich nicht wie ich zeigen soll,dass das
> ein Erzeugendensystem ist. Daher bitte ich um einen Ansatz!
Hallo,
Du kannst wenig dafür, aber die Bitte um "einen Ansatz" geht mir allmählich wirklich auf den Wecker.
Man liest sie hier sehr oft - und in schönster Regelmäßigkeit (eigentlich fast immer) in Kombination damit, daß absolut nichts überlegt wurde (bzw. von Überlegungen mitgeteilt.)
Der Ansatz bei jeglicher Aufgabe, in welcher etwas zu beweisen ist, ist immer gleich, und solange man dies nicht beherzigt, wird man wenig Erfolg haben:
Klären der vorkommenden Begriffe, Analyse des gestellten Problems.
Vorkommende Begriffe sind hier Rang, Basis, Erzeugendensystem, Zeilenraum, ebenso muß man wissen, wie Matrizen multipliziert werden.
Unter Analyse des Problems verstehe ich, daß man sich die zu zeigende Behauptung klarmacht und wirklich aufschreibt (!), welches die Voraussetzung ist und was zu zeigen ist - damit vermeidet man schonmal das gröbste Durcheinander, und es ergeben sich Hinweise darauf, welche Fragen vielleicht noch zu klären sind, in der Regel entsteht bei Übungsaufgaben hierbei gleich ein Fahrplan für den Beweis.
Die Lösung von Aufgaben beginnt also nicht, indem man munter drauflosbeweist, es sind vorher andere wichtige Dinge zu regeln.
Bevor ich koche, gehe ich ja auch einkaufen, und sinnigerweise habe ich mich zuvor mit der Funktionsweise von Herd und Stabmixer vertraut gemacht.
Wenn ich allerdings beim ersten Blick aufs Rezept erschrecke, weil dort steht "Butter klären", und ich nicht weiß ,was das ist, und ich dann, weil man auch zu viele Gewürze braucht, lieber gar nichts mache, bleibt die Familie hungrig. Oder muß für teuer Geld ein Restaurant aufsuchen, wo andere kochen - wovon ich dann allerdings auch noch nicht besser kochen kann.
So schaut's aus im Leben...
Zur Aufgabe:
Behauptung: [mm] z_{i_{1}},...,z_{i_{r}}ist [/mm] eine Basis des Zeilenraumes von A ==> [mm] z_{i_{1}}B,...,z_{i_{r}}B [/mm] ist ein Erzeugendensystem des Zeilenraums von AB
Voraussetzung: [mm] z_{i_{1}},...,z_{i_{r}}ist [/mm] eine Basis des Zeilenraumes von A, d.h. - ja, was heißt das denn eigentlich, was sagt uns das? Aufschreiben.
zu zeigen: [mm] z_{i_{1}}B,...,z_{i_{r}}B [/mm] ist ein Erzeugendensystem des Zeilenraums von AB, d.h.???
Was muß man hierfür überhaupt zeigen?
Solange das nicht geklärt ist, braucht man ans Beweisen überhaupt nicht zu denken. Was sollte der gedanke für einen Sinn haben?
Fragen muß man sich z.B. auch, was die [mm] z_{i_{k}}B [/mm] überhaupt für Dinger sind. Was sind das eigentlich? Matrizen, reelle Zahlen, Spaltenvektoren, Türklinken, Mengen?
So, ich hoffe, daß ich hiermit einen Ansatz geliefert habe.
Gruß v. Angela
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