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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Rang
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Rang: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:52 Di 25.01.2011
Autor: melisa1

Aufgabe
(a) Geben sie Matrizen A,B [mm] \in M_3(\IR) [/mm] an mit rank(A)=rank(B)=2 und rank(AB)=1

(b)Gibt es A,B [mm] \in M_4(IR) [/mm] mit rank(A)=rank(B)=3 und rank(AB)=1?

Hallo,


zu a) ich bastel schon die ganze zeit rum, bekomme aber irgendwie nie rank(AB) gleich 1 raus. Langsam denke ich, dass ich was falsch verstanden habe. Bedeutet [mm] M_3 [/mm] dass es sich um eine 3x3 Matrix handelt?
Ich muss mir doch zwei Matrizen überlegen bei denen der Rang gleich 2 ist aber die Multiplikation der beiden muss den Rang 1 haben?


zu b) Ich denke  mal, dass hier nach einem Widerspruch gefragt ist, aber wie mach ich das?




Danke im voraus!


Lg Melisa

        
Bezug
Rang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 Di 25.01.2011
Autor: fred97


> (a) Geben sie Matrizen A,B [mm]\in M_3(\IR)[/mm] an mit
> rank(A)=rank(B)=2 und rank(AB)=1
>  
> (b)Gibt es A,B [mm]\in M_4(IR)[/mm] mit rank(A)=rank(B)=3 und
> rank(AB)=1?
>  Hallo,
>  
>
> zu a) ich bastel schon die ganze zeit rum, bekomme aber
> irgendwie nie rank(AB) gleich 1 raus. Langsam denke ich,
> dass ich was falsch verstanden habe


Nein hast Du nicht. Ich hab keine Ahnung wie Du gebastelt hast .


Nimm mal  A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0& 0 } [/mm] und für B machst Du den Ansatz

            B= [mm] \pmat{ a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w } [/mm]

Berechne damit AB  (das geht schnell).




Bestimme nun  a,b,....   , so dass B den Rang 2 hat, AB aber den Rang 1 (da gibts viele Möglichkeiten ! )


> . Bedeutet [mm]M_3[/mm] dass es
> sich um eine 3x3 Matrix handelt?


Ja


>  Ich muss mir doch zwei Matrizen überlegen bei denen der
> Rang gleich 2 ist aber die Multiplikation der beiden muss
> den Rang 1 haben?
>  
>
> zu b) Ich denke  mal, dass hier nach einem Widerspruch
> gefragt ist, aber wie mach ich das?
>  
>
>
>
> Danke im voraus!
>  
>
> Lg Melisa


Bezug
                
Bezug
Rang: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Di 25.01.2011
Autor: melisa1

Hallo,


danke erstmal für die Antwort und deinem Hinweis.

ich habs so gemacht wie du gesagt hast und habe


[mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0& 0 } [/mm]

[mm] B=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0& 0 } [/mm]

[mm] AB=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 0 } [/mm]


A und B haben Rang 2 und AB Rang 1.


Jetzt zu b) ich denke, dass es nicht geht, aber weiß nicht wie ich es zeigen soll. Soll ich so vorgehen wie bei der a?



Lg

Bezug
                        
Bezug
Rang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Di 25.01.2011
Autor: Blech

Hi,

zur b)

B hat Rang 3, d.h. das Bild von B, [mm] $\text{Bild}(B)=\{Bx\ |\ x\in\IR^4\}$, [/mm] ist ein 3-dimensionaler, linearer Teilraum vom [mm] $\IR^4$. [/mm] Das gleiche gilt für A.

Jetzt kann man die Abbildung AB nicht nur so $(AB)x$ sondern auch so $A(Bx)$ klammern, also ist das Bild von AB

[mm] $\text{Bild}(AB)=\{ABx\ |\ x\in\IR^4\}=\{Ay\ |\ y\in \text{Bild}(B)\}$ [/mm]

[mm] $\text{Bild}(B)$ [/mm] ist 3-dim, wenn Du A darauf anwendest kannst Du maximal eine Dimension verlieren, also ist das Bild von AB mindestens 2-dim

ciao
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Rang: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:06 Di 25.01.2011
Autor: melisa1

und da dim=rang ist kann der rang nicht 1 sein, sondern muss mindestens 2 sein. Super danke!

Bezug
        
Bezug
Rang: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Do 27.01.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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