Rang Basis Demens einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 Do 15.09.2016 | | Autor: | Jura86 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösungsmengen zu den folgenden Gleichungssystemen A* [mm] \vec{x}= \vec{b}
[/mm]
Bestimmen Sie außerdem den Rang der Matrix A, sowie eine Basis und die Dimension vonL [mm] (A/\vec{0}). [/mm] |
Guten Tag !
Ich habe hier eine Aufgabe gelöst, und würde gerne jemanden bitte kurz zu schauen ob ich das richtig gemacht habe.
Aufgabenstellung :
A = [mm] \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 7\\ 1 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & 3 & 1\\ 2 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} [/mm] , b = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\-12\\ \end{pmatrix} [/mm]
Meine Umgeformte Matrix sieht so aus
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4 &|1\\ 0 & 3 & 4 & 1 &|4\\ 0 & 0 & -5 &-1&|0\\ 0 & 0 & 0 & - \bruch{7}{15}|&\bruch{7}{3} \end{pmatrix}
[/mm]
Danach habe ich X1, X2, X3, X4, X5 berechnet
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{49}{3} [/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{5}{3} [/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = 1
[mm] x_{4} [/mm] = -5
Und als Antwort würde ich sagen
Dass das LGS genau eine Lösung hat
Rang Rg (A) = 4
Rg (A/b) = 4
Ist das soweit okay oder ist es völlig falsch ?
Wenn der Rechenweg falsch ist, was muss ich denn machen ?
Habe ich die Aufgabe überhaupt komplett gelöst ?
Vielen Dank in Vorraus!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:44 Do 15.09.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab deine Matrx nicht überpruft. , die hast du mindest auf ungewohnte Weise umgeformt. aber deine Werte in die erste Gleichung eingesetzt. die stimmt nicht also sind sie falsch.
so rasch die Probe machen solltest du auch
ich empfehle dir zum nachrechnen
lineare Gleichungen
kreuz unbedingt an Erklärungen erzeugen.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 Mo 19.09.2016 | | Autor: | Jura86 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösungsmengen zu den folgenden Gleichungssystemen A* [mm] \vec{x}= \vec{b}
[/mm]
Bestimmen Sie außerdem den Rang der Matrix A, sowie eine Basis und die Dimension von L [mm] (A/\vec{0}) [/mm] |
Ich denke es ist besser wenn ich die Schritte noch genauer hinschreiben damit man besser sieht was ich da veranstaltet haben:
Gegebene Werte :
[mm] \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 7\\ 1 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & 3 &1\\ 2 & 0 & 2& 4 \end{pmatrix} ,\vec{b} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}2\\ 1 \\ 4\\ -12\\ \end{pmatrix} [/mm]
Zeilentausch
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 &|1 \\ 2 & 1 & 2 & 7 &|2\\ 2 &0& 2 & 4 &|-12\\ 0 & 4 & 3& 1&|4 \end{pmatrix} [/mm]
II=II - [mm] (2\cdot [/mm] I)
III=III - [mm] (2\cdot [/mm] I)
III=III - [mm] (2\cdot [/mm] I)
III = > 2 0 2 4 -12
-
[mm] (2\cdot [/mm] I) = > 2 6 2 8 2
III = 0 -6 0 -4 -14
II=II - [mm] (2\cdot [/mm] I)
II = > 2 1 2 7 2
-
[mm] (k\cdot [/mm] I) = > 2 6 2 8 2
II = 0 -5 0 -1 0
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 &|1 \\ 0 & 4 & 3 & 1 &|4\\ 0 & -5 & 0 & -1 &|0\\ 0 & -6 & 0& -4&|-14 \end{pmatrix} [/mm]
Zeilentausch
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 &|1 \\ 0 & -5 & 0 & -1 &|0\\ 0 & 4 & 3 & 1 &|4\\ 0 & -6 & 0& -4&|-14 \end{pmatrix} [/mm]
Zeilentausch
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 &|1 \\ 0 & 4 & 3 & 1 &|4\\ 0 & -5 & 0 & -1 &|0\\ 0 & -6 & 0& -4&|-14 \end{pmatrix} [/mm]
Spaltentausch
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4 &|1 \\ 0 & 3 & 4 & 1 &|4\\ 0 & 0 & -5 & -1 &|0\\ 0 & 0 & -6& -4&|-14 \end{pmatrix} [/mm]
IV = (IV: 6) - ( III:5)
(IV:6) = > 0 0 -1 -2/3 7/3
+
(III:5) = > 0 0 -1 -1/5 0
IV = 0 0 0 -7/15 7/3
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4 &|1 \\ 0 & 3 & 4 & 1 &|4\\ 0 & 0 & -5 & -1 &|0\\ 0 & 0 & 0& -7/15&|7/3 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] -7/15x_{4} [/mm] = 7/3
[mm] x_{4} [/mm] = -5
[mm] -5x_{3}-x_{4} [/mm] = 0
[mm] x_{3} [/mm] = 1
[mm] 3x_{2} [/mm] +4 [mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] = 4
[mm] x_{2} [/mm] = 5/3
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}+ 3x_{3}- 4x_{4} [/mm] = 1
[mm] x_{1} [/mm] = 49/3
Also das ist mein Rechenweg etwas detalierter..
Bin ich da auf den richtigen Weg ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 Mo 19.09.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du deine Werte wenigstens mal in die erste Gl. eingesetzt?
und wenn die anderen stimmen dann folgt aus der letzten Gl dein x1 nicht.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Mi 21.09.2016 | | Autor: | Jura86 |
Ich habe das jetzt auf einem anderen Weg gerechnet.
und zwar habe ich die Zeilen und spalten soweit umgeformt bis ich in der Diagnalnur einsen hatte.
die werte konnte ich dann ablesen :
X1 = 49/15
X2 = 1/3
X3 = - 1/5
X4 = 1/5
Aber um auf die Fragestellung zu kommen:
Der Rang der Matrix ist doch 4 wenn ich unten links Zeilenstufenform habe..
was ist wenn ich jetzt diese einserdiagonale habe ?
was ist dann mit dem rang auch 4 ? weil es ja keine Nullzeile möglich ist.
ist das richtig ?
Demension ist hier auch 4 weil 4 linear unabhängige Spalten in dem Gleichungssysthem sind. Damit die Basis auch 4 oder ?
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Hallo, schachuzipus hat doch schon (fast) alles gelöst, da Du keinen Rechenweg angibst, kann ich den Fehler nicht finden, Du bekommst dann
[mm] x_1=-17
[/mm]
[mm] x_2=-1
[/mm]
[mm] x_3=1
[/mm]
[mm] x_4=5
[/mm]
alles Weitere sollte dann klar sein
Steffi
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Hallo,
> Berechnen Sie die Lösungsmengen zu den folgenden
> Gleichungssystemen A* [mm]\vec{x}= \vec{b}[/mm]
> Bestimmen Sie
> außerdem den Rang der Matrix A, sowie eine Basis und die
> Dimension vonL [mm](A/\vec{0}).[/mm]
> Guten Tag !
>
> Ich habe hier eine Aufgabe gelöst, und würde gerne
> jemanden bitte kurz zu schauen ob ich das richtig gemacht
> habe.
>
> Aufgabenstellung :
>
> A = [mm]\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 7\\ 1 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & 3 & 1\\ 2 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}[/mm]
> , b = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\-12\\ \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Meine Umgeformte Matrix sieht so aus
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4 &|1\\ 0 & 3 & 4 & 1 &|4\\ 0 & 0 & -5 &-1&|0\\ 0 & 0 & 0 & - \bruch{7}{15}|&\bruch{7}{3} \end{pmatrix}[/mm]
Du solltest deine Rechnungen angeben, wenn du eine Kontrolle haben möchtest ...
Ich komme nach wenigen Schritten auf folgende Matrix in ZSF:
[mm]\pmat{2&1&2&7&|&2\\0&-5&0&-1&|&0\\0&0&15&1&|&20\\0&0&0&14&|&70}[/mm]
was sehr schnell zu einer "schönen" ganzzahligen Lösung führt ...
>
> Danach habe ich X1, X2, X3, X4, X5 berechnet
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{49}{3}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{5}{3}[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = 1
> [mm]x_{4}[/mm] = -5
>
>
> Und als Antwort würde ich sagen
> Dass das LGS genau eine Lösung hat
> Rang Rg (A) = 4
> Rg (A/b) = 4
>
>
> Ist das soweit okay oder ist es völlig falsch ?
> Wenn der Rechenweg falsch ist, was muss ich denn machen ?
> Habe ich die Aufgabe überhaupt komplett gelöst ?
>
> Vielen Dank in Vorraus!!
Das kleine Wörtchen "voraus" ist ganz bescheiden und kommt mit einem "r" aus ...
Gruß
schachuzipus
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