Rang / Dimension < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo nochmal ihr Lieben!
Ich habe nun eben eine Aufgabe gerechnet, in der mir eine Matrix mit 4 Zeilen und 4 Spalten gegeben war.
Ich sollte mit Hilfe des Ranges die Diemension bestimmen.
Alles schön und gut, und so habe ich mich ans Umformen gesetzt.
Ich kam am Ende auch auf das richtige Ergebnis, aber nun frage ich mich ob das Zufall ist oder ob meine Vorgehensweise korrekt war?
Ich versuche immer, die Matrix so umzuformen dass ich möglichst viele Einheitsvektoren hinbekomme.
In diesem Falle ist mir das in den ersten beiden Spalten gelungen.
In der Form ( 1 / 0 / 0 / 0 ) und ( 0 / 1 / 0 / 0 ) . Die anderen beiden Spalten konnte ich mit den mir verfügbaren Zahlen nun leider nicht mehr als Einheitsvektor formen.
Meine Frage: Ist es korrekt wenn ich so vorgehe und dann, anhand der Einheitsvektoren die ich erreicht habe, den Rang ablese? oder ist das nicht zulässig?
Ich weiss sonst nicht wie es gehen soll.....
Danke euch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Mi 01.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
die sich aufdrängende Frage ist doch : was steht in den beiden anderen Spalten ?!?
also wenn du nur Werte in den beiden ersten Komponenten stehen und der Rest Null ist, dann könntest du diese doch als Linearkombination deiner Einheitsvektoren darstellen, richtig ?
Also verändert sich nicht mehr der Rang.
Wenn allerdings noch ein Wert in der dritten oder vierten Komponente nicht 0 ist, dann schafft man es auch durch Zeilen- und Spaltenumformungen zu dem entspr. Einheitsvektor umzuformen.
Also : es ist KEIN Zufall :
Durch (zum Beispiel) nur Zeilenumformungen bekommt man die Spalten der Matrix auf die Einheitsvektoren und deren Anzahl ist gleich dem Rang der Matrix - der rest der Matrix kann man dann einfach auch 0 bringen.
(und damit sind auch die Zeilen die Einheitsvektoren)
viele Grüße
DaMenge
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Hallo nochmal!
Also wenn es mir gelingt so viele Einheitsvektoren wie möglich zu bilden, und dann auch noch zu schauen, dass die unteren Zeilen immer null sind, dann bin ich richtig?
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Hallo!
Ja bist du. Wenn 2 Zeilen Null werden, heißt das, dass sie linear abhängig zu den anderen beiden waren.
Und da der Rang gerade die Anzahl der linear unabhänigen Zeilen oder Spalten (die, die du zu Einheitsvektoren machen kannst) ist, ist dieser 2.
Wenn der Rang voll ist, d.h. der Rang gleich der Anzahl der Zeilen/Spalten der Matrix ist, ist die Matrix inveriterbar.
Die Inverse bekommst du, wenn du die Schritte, die du machst, um die Einheitsmatrix rauszubekommen, machst, gleichzeitig bei der Einheitsmatrix angefangen durchführst.
Gruß Martin
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