Rang, Kern, Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen
Bei folgender Aufgabe habe ich keine Ahnung wie ich vorgehen soll:
Bestimme den Rang der Abbildung [mm] \nu: [/mm] V [mm] \to [/mm] V, f [mm] \mapsto [/mm] f''+27f & bestimme eine Basis von Kern [mm] \nu [/mm] und eine Basis von Bild von [mm] \nu.
[/mm]
Wie gehe ich da nun vor???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
der Kern von [mm] \nu [/mm] ist doch die Menge aller Funktionen, für die $ f''+27f=0 $ gilt.
Der Lösungsraum dieser Differentialgleichung ist zweidimensional und wird von den Funktionen [mm] b_1 [/mm] mit [mm] b_1(x)=sin(\wurzel{27}*x) [/mm] und [mm] b_2 [/mm] mit [mm] b_2(x)=cos(\wurzel{27}*x) [/mm] aufgespannt. Aber liegen die überhaupt in V ?
Ohne Kenntnis darüber, was V eigentlich ist, lässt sich auch die Frage nach dem Rang und dem Bild von [mm] \nu [/mm] nicht brantworten.
Gruß Sax.
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Hallo
Sorry, habe gestern nicht die ganze Aufgabe geschrieben.
Also hier nochmal:
Sei [mm] V:=span{e^{x},e^{2x},e^{3x},e^{4x},e^{x}(1+e^{3x}} [/mm] der Unterraum des [mm] \IR-Vektorraums C^{\infty} [/mm] der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf [mm] \IR. [/mm]
1) Bestimme den Rang der Abbildung [mm] \nu: [/mm] V [mm] \to [/mm] V, f [mm] \mapsto [/mm] f''+27f
2) Bestimme eine Basis von Kern [mm] \nu [/mm] & eine Basis von Bild [mm] \nu.
[/mm]
Wie kann ich nun 1 & 2 lösen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Di 04.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
weil die Abbildungsmatrix [mm] N=\pmat{ 28 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 31 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 36 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 43 } [/mm] von [mm] \nu [/mm] bzgl. der Basis $ B = [mm] \{e^x, x^{2x}, x^{3x}, x^{4x}\} [/mm] $ von V regulär ist, ist [mm] kern(\nu) [/mm] der Nullraum und eine Basis von [mm] \nu(V) [/mm] ist B.
Gruß Sax.
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Hallo Sax
Kannst du mir nochmals erklären, wie man genau auf diese Abbildungsmatrix N kommt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Di 04.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Sax
>
> Kannst du mir nochmals erklären, wie man genau auf diese
> Abbildungsmatrix N kommt?
Wir haben die Basis $ B = [mm] \{e^x, e^{2x}, e^{3x}, e^{4x}\} [/mm] $
Die Funktionen [mm] b_1,...,b_4 [/mm] seien def. durch [mm] b_j(x)=e^{jx}
[/mm]
Die j-te Spalte von N kommt so zustande:
[mm] \nu(b_j)=(j^2+27)b_j
[/mm]
Z.B.: j=2: [mm] \nu(b_2)=31b_2=0*b_1+31*b_2+0*b_3+o*b_4
[/mm]
FRED
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Hallo
Ok, vielen Dank!
Also der Rang der Matrix/der Abbildung ist ja dann 4.
Dann der Kern ist der Nullraum, und die Basis davon ist dann (0, 0, 0, [mm] 0)^{t} [/mm] oder muss ich das nicht hinschreiben...?
Die Basis des Bildes habe ich aber immer noch nicht ganz verstanden. Es wurde ja geschrieben, dass die Basis des Bildes [mm] B=(e^x,e^{2x},e^{3x},e^{4x}) [/mm] ist.
Aber wieso? Meiner Meinung nach ist die Basis des Bildes einfach die Zeilen der Matrix.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Di 04.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie schreibst du [mm] e^x [/mm] als Basisvektor in Komponentenschreibweise?
Gruß leduart
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:22 Di 04.02.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Sorry ich verstehe nicht ganz was du meinst... ??
Und was ist mit dem rang und dem basis des Kern's? Stimmt das was ich oben geschrieben habe?
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Hallo,
es geht um [mm] V:=span(e^x, e^{2x}, e^{3x}, e^{4x}).
[/mm]
Die vier Vektoren [mm] b_1:=e^x, b_2:=e^{2x}, b_3:=e^{3x}, b_4:=e^{4x}
[/mm]
bilden eine Basis B von V.
Die Matrix [mm] N:=\pmat{ 28 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 31 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 36 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 43 }
[/mm]
ist die Darstellungsmatrix bzgl der Basis B der Abbildung
[mm] \nu:V\to [/mm] V mit
[mm] \nu(f):=f''+27f [/mm] für alle [mm] f\in [/mm] V.
> Also der Rang der Matrix/der Abbildung ist ja dann 4.
Ja.
> Dann der Kern
der Matrix
> ist der Nullraum,
Ja.
> und die Basis davon ist
> dann (0, 0, 0, [mm]0)^{t}[/mm]
Nein. Der Nullvektor ist linear abhängig, kann also keine Basis von irgendetwas sein.
Die Basis des Nullraumes ist die leere Menge.
> oder muss ich das nicht
> hinschreiben...?
Daß der Kern der Nullraum ist, reicht.
Aber Achtung!
Es ist [mm] Kern(N)=\{\vektor{0\\0\\0\\0}\},
[/mm]
das ist aber nicht der Kern von [mm] \nu!
[/mm]
Wie sollte es auch? [mm] \vektor{0\\0\\0\\0} [/mm] ist ein Element des [mm] \IR^4,
[/mm]
[mm] \nu [/mm] hingegen bildet aus dem Raum V ab, dessen Vektoren Funktionen sind.
Richtig ist:
es ist [mm] Kern(\nu)=0*b_1+0*b_2+0*b_3+0*b_4=0_V,
[/mm]
also die Funktion [mm] n\in [/mm] V mit n(x):=0 für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
>
> Die Basis des Bildes habe ich aber immer noch nicht ganz
> verstanden. Es wurde ja geschrieben, dass die Basis des
> Bildes [mm]B=(e^x,e^{2x},e^{3x},e^{4x})[/mm] ist.
> Aber wieso? Meiner Meinung nach ist die Basis des Bildes
> einfach die Zeilen der Matrix.....
Wenn überhaupt, dann die Spalten der Matrix und nicht die Zeilen.
In der Tat wird Bild(N) aufgespannt von den 4 Spalten.
Das ist aber nicht das Bild von [mm] \nu [/mm] !
Das Bild von [mm] \nu [/mm] wird aufgespannt von diesen 4 Vektoren des V:
[mm] 28b_1, 31b_2, 36b_3, 43b_4,
[/mm]
und natürlich spannen [mm] b_1, b_2, b_3, b_4 [/mm] denselben Raum auf,
und es ist [mm] Bild(\nu)=V.
[/mm]
LG Angela
>
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> Hallo,
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> es geht um [mm]V:=span(e^x, e^{2x}, e^{3x}, e^{4x}).[/mm]
>
> Die vier Vektoren [mm]b_1:=e^x, b_2:=e^{2x}, b_3:=e^{3x}, b_4:=e^{4x}[/mm]
>
> bilden eine Basis B von V.
>
> Die Matrix [mm]N:=\pmat{ 28 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 31 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 36 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 43 }[/mm]
>
> ist die Darstellungsmatrix bzgl der Basis B der Abbildung
> [mm]\nu:V\to[/mm] V mit
> [mm]\nu(f):=f''+27f[/mm] für alle [mm]f\in[/mm] V.
>
>
> > Also der Rang der Matrix/der Abbildung ist ja dann 4.
>
> Ja.
>
>
> > Dann der Kern
> der Matrix
> > ist der Nullraum,
>
> Ja.
>
> > und die Basis davon ist
> > dann (0, 0, 0, [mm] 0)^{t}
[/mm]
>
>
>
> Nein. Der Nullvektor ist linear abhängig, kann also keine
> Basis von irgendetwas sein.
> Die Basis des Nullraumes ist die leere Menge.
>
> > oder muss ich das nicht
> > hinschreiben...?
>
> Daß der Kern der Nullraum ist, reicht.
>
> Aber Achtung!
>
> Es ist [mm] Kern(N)=\{\vektor{0\\0\\0\\0}\},
[/mm]
> das ist aber nicht der Kern von [mm] \nu!
[/mm]
>
> Wie sollte es auch? [mm] \vektor{0\\0\\0\\0} [/mm] ist ein Element des
> [mm] \IR^4,
[/mm]
> [mm] \nu [/mm] hingegen bildet aus dem Raum V ab, dessen Vektoren
> Funktionen sind.
>
> Richtig ist:
>
> es ist [mm] Kern(\nu)=0*b_1+0*b_2+0*b_3+0*b_4=0_V,
[/mm]
> also die Funktion [mm] n\in [/mm] V mit n(x):=0 für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
>
> >
> > Die Basis des Bildes habe ich aber immer noch nicht ganz
> > verstanden. Es wurde ja geschrieben, dass die Basis des
> > Bildes [mm]B=(e^x,e^{2x},e^{3x},e^{4x})[/mm] ist.
> > Aber wieso? Meiner Meinung nach ist die Basis des Bildes
> > einfach die Zeilen der Matrix.....
>
> Wenn überhaupt, dann die Spalten der Matrix und nicht die
> Zeilen.
>
> In der Tat wird Bild(N) aufgespannt von den 4 Spalten.
> Das ist aber nicht das Bild von [mm]\nu[/mm] !
> Das Bild von [mm]\nu[/mm] wird aufgespannt von diesen 4 Vektoren
> des V:
>
> [mm]28b_1, 31b_2, 36b_3, 43b_4,[/mm]
>
> und natürlich spannen [mm]b_1, b_2, b_3, b_4[/mm] denselben Raum
> auf,
> und es ist [mm]Bild(\nu)=V.[/mm]
Also, wenn ich die richtig verstanden habe, ist also die Basis des Bildes [mm] B=(b_1, b_2, b_3, b_4).
[/mm]
Aber wäre es denn jetzt falsch zu schreiben, dass die Basis des Bildes = [mm] (28b_1, 31b_2, 36b_3, 43b_4) [/mm] ist?
> LG Angela
> >
> >
>
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> > Das Bild von [mm]\nu[/mm] wird aufgespannt von diesen 4 Vektoren
> > des V:
> >
> > [mm]28b_1, 31b_2, 36b_3, 43b_4,[/mm]
> >
> > und natürlich spannen [mm]b_1, b_2, b_3, b_4[/mm] denselben Raum
> > auf,
> > und es ist [mm]Bild(\nu)=V.[/mm]
>
> Also, wenn ich die richtig verstanden habe, ist also die
> Basis des Bildes [mm]B=(b_1, b_2, b_3, b_4).[/mm]
> Aber wäre es
> denn jetzt falsch zu schreiben, dass die Basis des Bildes =
> [mm](28b_1, 31b_2, 36b_3, 43b_4)[/mm] ist?
Hallo,
nein, das wäre nicht falsch.
Aber Du solltest auf jeden Fall zu erkennen geben, daß Du gemerkt hast, daß [mm] Bild(\nu)=V [/mm] ist.
LG Angela
>
> > LG Angela
> > >
> > >
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