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Hallo Zusammen,
Ich habe eine Frage zu folgendem Beweis:
Hilfssatz:
Eine lineare Abbildung $f: V [mm] \rightarrow [/mm] W$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von [mm] $f\!$ [/mm] nur den Nullvektor enthält.
Beweis zum Hilfssatz:
[mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Es sei $v [mm] \in [/mm] V$, $v [mm] \ne [/mm] 0$. Da [mm] $\textcolor{red}{f(0) = 0}$ [/mm] und [mm] $f\!$ [/mm] injektiv ist, gilt $f(v) [mm] \ne [/mm] 0$, da die 0 ja bereits vergeben wurde. Also enthält der Kern von [mm] $f\!$ [/mm] nur den Nullvektor, denn [m]\operatorname{ker}(f) := \left\{w\in V:f(w)=0\right\}[/m] ist ja die Menge aller Elemente, die auf 0 abgebildet werden. Und das ist ja offenbar nur die 0. Damit ist [mm] $\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(f)) [/mm] = 0$.
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Es seien $v, v' [mm] \in [/mm] V$ mit $v [mm] \ne [/mm] v'$. Wir müssen zeigen, daß $f(v) [mm] \ne f\left(v'\right)$ [/mm] gilt. Angenommen $f(v) = [mm] f\left(v'\right)$. [/mm] Dann gilt $0 = [mm] f(v)-f\left(v'\right) [/mm] = [mm] f\left(v-v'\right)$, [/mm] da dies aus der Linearität folgt. Also liegt $v-v'$ im Kern von [mm] $f\!$. [/mm] Da der Kern von [mm] $f\!$ [/mm] nur den Nullvektor enthält, folgt $v-v' = 0$ ein Widerspruch. [mm] \Box
[/mm]
Beweis zur damaligen Aufgabe:
Wir betrachten die lineare Abbildung [mm] $f:\mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m; [/mm] f: x [mm] \mapsto [/mm] Ax$.
[mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Da [mm] $\operatorname{rang}(A) [/mm] = n$, gilt $m = [mm] n\!$ [/mm] und [m]f: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^n[/m]. Nach dem Dimensionensatz gilt:
[m]\operatorname{dim}\left(\mathbb{K}^n\right) = \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(f)) + \operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(f)) \gdw n = \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(f)) + n \gdw \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(f)) = 0[/m]. Nach dem Hilfssatz ist [mm] $f\!$ [/mm] also injektiv.
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Da [mm] $f\!$ [/mm] injektiv ist, gilt nach dem Dimensionensatz und Hilfssatz: [m]\operatorname{dim}\left(\mathbb{K}^n\right) = \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(f)) + \operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(f)) \gdw n = \operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(f)) = \operatorname{rang}(A)[/m]. [m]\Box[/m]
Bei den roten Stellen würde ich gern wissen, woraus sie gefolgert werden.
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Do 21.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Karl_Pech,
> Hilfssatz:
>
> Eine lineare Abbildung [mm]f: V \rightarrow W[/mm] ist genau dann
> injektiv, wenn der Kern von f nur den Nullvektor enthält.
>
> Beweis zum Hilfssatz:
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]": Es sei [mm]v \in V[/mm], [mm]v \ne 0[/mm]. Da f(0) = 0 und f
> injektiv ist, gilt [mm]f(v) \ne 0[/mm], da die 0 ja bereits
> vergeben wurde. Also
> enthält der Kern von f nur den Nullvektor, denn [m]ker(f) := \left\{w\inV:f(w)=0\right\}[/m]
> ist ja die Menge aller Elemente, die auf 0 abgebildet
> werden. Und das ist ja offenbar nur die 0. Damit ist
> [mm]dim(ker(f)) = 0[/mm].
>
> "[mm]\Leftarrow[/mm]": Es seien [mm]v, v' \in V[/mm] mit [mm]v \ne v'[/mm]. Wir müssen
> zeigen,
> daß [mm]f(v) \ne f(v')[/mm] gilt. Angenommen [mm]f(v) = f(v')[/mm]. Dann
> gilt
> [mm]0 = f(v)-f(v') = f(v-v')[/mm], da dies aus der Linearität
> folgt. Also liegt [mm]v-v'[/mm]
> im Kern von f. Da der Kern von f nur den Nullvektor
> enthält, folgt
> [mm]v-v' = 0[/mm] ein Widerspruch. [mm]\Box
[/mm]
> Bei den roten Stellen würde ich gern wissen, woraus sie
> gefolgert werden.
Also, ich habe mir nur die beiden roten Stellen angesehen, also nur den Hilfssatz.
Dass f(0)=0 ist, liegt daran, dass f eine lineare Abbildung ist: [mm] $f(\lambda a)=\lambda [/mm] f(a)$. Für [mm] \lambda=0 [/mm] folgt gerade f(0)=0.
Dass [mm] $\Kern [/mm] f$ nur den Nullvektor enthält, wird doch gerade für diese Rückrichtung vorausgesetzt:
"Wenn [mm] $\Kern [/mm] f$ nur den Nullvektor enthält, dann ist f injektiv."
Mmh, ich fürchte, ich habe deine Frage/dein Problem wohl nicht richtig verstanden, melde dich ggfs. noch mal, zum es zu verdeutlichen 
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Marc,
Also, daß mit $f(0) = [mm] 0\!$ [/mm] habe ich jetzt verstanden. Es folgt also aus den Axiomen für lineare Abbildungen. Und das mit dem Kern ist jetzt auch klar, denn es gibt keine zwei unterschiedlichen Vektoren, deren Funktionswerte gleich wären, weil die Differenz der Funktionswerte dieser Vektoren wegen der Linearität der Addition von linearen Abbildungen immer immer dafür sorgt, daß auch der Funktionswert der Differenz das gleiche Ergebnis, nämlich 0 liefert. Weswegen es immer auf gleiche Vektoren hinausläuft. Und da ist der Widerspruch!
Danke für die Hilfe!
Viele Grüße
Karl
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