Rang einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Folgende Aufgabe habe ich berechnet:
Berechnen sie den Rang der Matrix A [mm] \pmat{ 3 & 0 & -1 & 1 \\ -6 & -1 & -4 & 1 \\ 9 & 2 & 9 & -3} [/mm]
Nun meine Rechnung
Zuerst habe ich die 1. Zeile * (-3) + 3. Zeile gerechnet: Ergebnis
[mm] \pmat{ 3 & 0 & -1 & 1 \\ -6 & -1 & -4 & 1 \\ 0 & 2 & 12 & -6} [/mm]
Dann habe ich die 1. Zeile *2 + 2. Zeile gerechnet: Ergebnis
[mm] \pmat{ 3 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -6 & 3 \\ 0 & 2 & 12 & -6} [/mm]
Dann habe ich die 2. Zeile *2 + 3. zeile gerechnet: Ergebnis
[mm] \pmat{ 3 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -6 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]
So jetzt habe ich eine Nullzeile. Ist sowas das Ergebnis bei der Rangbestimmung. Und ist der Rang nun 2 ??Oder muß man noch weiter rechnen'?
Vielen Dank
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Hi!
Ja richtig, der Rang ist 2, da es in der Treppennormalform der Matrix 2 zeilen ungleich 0 gibt.
mfg Verena
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Hi!
Und wie kann ich jetzt daraus bestimmen, was eine Basis des Kerns von A und eine Basis des Bildes von A ist?
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Hi!
Also eine Basis des Kerns kannst du immer einfach ausrechnen, indem du das homogene Gleichungssystem von A löst. In deinem Fall siehst du schon das dimKern(A)=2, da du 2 linear unabhängige Zeilen hast und [mm] A\in\IR^{3,4}. [/mm] Falls ich mich nicht verrechnet hab: z.B. (die Darstellung ist natürlich nicht eindeutig)
Kern(A)=span( [mm] \vektor{1 \\ -18 \\ 3 \\ 0},\vektor{ 0 \\ -3 \\ 1 \\ 1})
[/mm]
Bild(A)={Av, [mm] v\in\IR^4 [/mm] }, im prinzip kannst du also das Bild durch linearkombinationen der Spalten von A aufspannen. Allerdings sind die Spalten in deinem fall natürlich keine Basis, da es 4 sind und [mm] dimBild(A)=dim\IR^4-dimKern(A)=2. [/mm] Das kannst du natürlich auch daran sehen, dass die letzte Zeile 0 ist. Ich glaube du kannst als Basis des Bildes [mm] (e_1, e_2) [/mm] nehmen.
mfg Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:09 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Verena!
> Ich glaube
> du kannst als Basis des Bildes [mm](e_1, e_2)[/mm] nehmen.
Nur weil du schreibst: "Ich glaube...", sage ich dir: Das ist richtig. 
Liebe Grüße
Stefan
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