Rang einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 So 16.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Leute!
Ich hätte da eine Verständnisfrage.
Wenn ich eine Matrix M [mm] \in K^{m,n} [/mm] gegeben habe, weiß ich ja, dass der Unterraum [mm] \subseteq K^{1,n} [/mm] der Zeilenraum von M ist und dass dim [mm] [/mm] der Zeilenrang von M ist.
Das Gleiche gilt für den Spaltenraum [mm] , [/mm] der Unterraum ist von [mm] K^{m}. [/mm] Und es gilt außerdem, dass dim [mm] [/mm] der Spaltenrang ist.
Wenn ich nun zwei Matrizen gegeben habe,
N [mm] \in K^{m} [/mm] und P [mm] \in K^{1,n},
[/mm]
weiß ich aus der Vorlesung, dass der Rang dieser Matrizen kleiner gleich 1 ist.
Aber ich verstehe nicht ganz warum.
Ist es richtig, wenn ich sage, dass der Rang [mm] \le [/mm] 1 ist, weil N nur aus einer Spalte besteht und analog, weil P nur aus einer Zeile besteht.
Oder wie kann ich es richtig begründen?
N kann ich doch so schreiben, oder?
N = [mm] \vektor{a_{1} \\ . \\ . \\ . \\ a_{m}}
[/mm]
N ist hier speziell doch ein Vektor, ich kann N aber doch auch als Matrix schreiben, oder? So:
N = [mm] \pmat{ a_{1} & 0 \\ . & 0 \\ . & 0 \\ . & 0 \\ a_{m} & 0 }
[/mm]
Wenn ich das so schreiben kann, kann ich N doch in die Zeilenstufenmatrix überführen, dann verstehe ich schon, warum der Rang dann kleiner gleich 1 ist. Weil dann nur noch eine Zeile bzw. keine übrig bleibt.
Aber ich meine Vorgehensweise richtig?
Bei P würde ich es analog machen.
Ich bitte um Aufklärung! Vielen Dank!
ciao!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 So 16.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo VHN!
> Ist es richtig, wenn ich sage, dass der Rang $ [mm] \le [/mm] $ 1 ist, weil N nur aus einer Spalte besteht und analog, weil P nur aus einer Zeile besteht.
Ja, das kannst du so sagen. Du kannst es wie folgt begründen:
Der Rang einer Matrix ist als die Dimension des Spaltenraumes definiert. Wenn deine Matrix nur eine Spalte beinhaltet, dann kann der von dieser Spalte aufgespannte Unterraum höchstens die Dimension 1 haben. Da zudem für jede Matrix die Dimension des Spaltenraumes der des Zeilenraumes entspricht, kannst du dieses Argument auch auf Matrizen anwenden, die nur eine Zeile beinhalten. Insgesamt kannst du für eine Matrix [mm] $A\in K^{m\times n}$ [/mm] sagen: [mm] $Rang(A)\leq min(\{m,n\})$.
[/mm]
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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