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| Aufgabe | Diese Aufgabe habe ich weder in diesem Forum, noch in einem anderen gestellt.
Aufgabe: Bestimmen Sie den Rang der unten stehenden Matrix
[mm] \pmat{ 2 & 4 & 3 \\ 5 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 1} [/mm] |
Ich komme durch folgende Rechenschritte zu dem Ergebnis, dass die Matrix den Rang 3 hat.
Meine Lösung:
Erste Zeile durch 2 dividieren, so dass sich folgende Lösung ergibt:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 5 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 1}
[/mm]
Die zweite Zeile mit dem -5 fachen der ersten Zeile addieren:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 0 & -9 & -5,5 \\ 6 & 2 & 1}
[/mm]
Die dritte Zeile mit dem -6 fachen der ersten Zeile addieren:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 0 & -9 & -5,5 \\ 0 & -10 & -8}
[/mm]
Die zweite Zeile mit dem [mm] -\bruch{10}{9} [/mm] multiplizieren und mit der dritten Zeile addieren:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 0 & -9 & -5,5 \\ 0 & 0 &15}
[/mm]
Letzter Schritt:
zweite Zeile durch -9 und dritte Zeile durch 15 dividieren
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 0 & 1 & \bruch{11}{18} \\ 0 & 0 &1}
[/mm]
Die Mustelösung kommt allerdings zu einem anderen Ergebnis. Die Musterlösung weicht ab dem 3 Rechenschritt von meiner Lösung ab:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 0 & -9 & -5,5 \\ 0 & -10 & -8} [/mm] Die zweite und dritte Zeile werden miteinander vertauscht->
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 0 & -10 & -8 \\ 0 & -9 & -5,5}
[/mm]
Anschließend wird die zweite Zeile durch -10 dividiert:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 0 & 1& 0,8 \\ 0 & -9 & -5,5} [/mm] Das 9 fache der zweiten Zeile wird mit der dritten Zeile addiert->
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 0 & 1& 0,8 \\ 0 & 0 &1,7}
[/mm]
Auch hier kommt man zum Ergebnis, dass die Matrix den Rang 3 hat.
Allerdings sieht die Matrix komplett anders aus. Daher meine Frage: Ist meine Lösung falsch?
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Hallo Friesenprinz,
> Aufgabe: Bestimmen Sie den Rang der unten stehenden
> Matrix
>
> [mm]\pmat{ 2 & 4 & 3 \\ 5 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 1}[/mm]
> Ich komme
> durch folgende Rechenschritte zu dem Ergebnis, dass die
> Matrix den Rang 3 hat.
> Meine Lösung:
> Erste Zeile durch 2 dividieren, so dass sich folgende
> Lösung ergibt:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 5 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die zweite
> Zeile mit dem -5 fachen der ersten Zeile addieren:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 0 & -9 & -5,5 \\ 6 & 2 & 1}[/mm]
> Die
> dritte Zeile mit dem -6 fachen der ersten Zeile addieren:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 0 & -9 & -5,5 \\ 0 & -10 & -8}[/mm]
> Die
> zweite Zeile mit dem [mm]-\bruch{10}{9}[/mm] multiplizieren und mit
> der dritten Zeile addieren:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 0 & -9 & -5,5 \\ 0 & 0 &15}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da hast Du einen Rechenfehler, aber das Prinzip ist schon richtig.
> Letzter
> Schritt:
> zweite Zeile durch -9 und dritte Zeile durch 15
> dividieren
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 0 & 1 & \bruch{11}{18} \\ 0 & 0 &1}[/mm]
Fehler setzen sich halt fort. Aber im Prinzip hast Du wieder richtig gedacht.
Ich komme mir gerade vor wie Radio Eriwan, falls Du das noch kennst...
> Die Mustelösung kommt allerdings zu einem anderen
> Ergebnis. Die Musterlösung weicht ab dem 3 Rechenschritt
> von meiner Lösung ab:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 0 & -9 & -5,5 \\ 0 & -10 & -8}[/mm] Die
> zweite und dritte Zeile werden miteinander vertauscht->
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 0 & -10 & -8 \\ 0 & -9 & -5,5}[/mm]
Vertauschen ändert das Vorzeichen der Determinante der Matrix. Da aber nur untersucht wird, ob die Determinante Null ist, macht das hier ja nichts aus.
> Anschließend wird die zweite Zeile durch -10 dividiert:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 0 & 1& 0,8 \\ 0 & -9 & -5,5}[/mm] Das 9
> fache der zweiten Zeile wird mit der dritten Zeile
> addiert->
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1,5 \\ 0 & 1& 0,8 \\ 0 & 0 &1,7}[/mm]
>
> Auch hier kommt man zum Ergebnis, dass die Matrix den Rang
> 3 hat.
> Allerdings sieht die Matrix komplett anders aus. Daher
> meine Frage: Ist meine Lösung falsch?
Wie gesagt, im Prinzip ist sie richtig, bis auf Rechenfehler. Die Zeilenstufenform einer Matrix ist keine eindeutige Repräsentation, so dass Du durchaus ein anderes Ergebnis haben kannst.
lg
reverend
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Vielen Dank.
Alles verstanden!
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