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| Aufgabe | Für [mm] \lambda \in \IR [/mm] sei [mm] r(\lambda) [/mm] der Rang der reelen Matrix
[mm] A_{\lambda}:= \pmat{ 1 & 2 & \lambda \\ 2 & -3 & 2 \\ \lambda & 1 & 1 }
[/mm]
Richtig oder falsch:
1) [mm] r(\lamda) \ge [/mm] 4 für alle [mm] \lambda \ge [/mm] 1000000
2) [mm] r(\lambda) \ge [/mm] 3 genau dann, wenn [mm] \lambda \not= [/mm] 1 und [mm] \lambda \not= [/mm] -3
3) [mm] r(\lambda) [/mm] = 0 für [mm] \lambda=0 [/mm] |
Hallo
ich bitte nur um eine kurze Korrektur fals meine eigenen Gedanken richtig sind.
1) [mm] r(\lamda) \ge [/mm] 4 für alle [mm] \lambda \ge [/mm] 1000000
diese aussage ist falsch, weil dir Matrix jetzt schon als vollen Rang höchstens [mm] r(\lambda)=3 [/mm] hat und somit wird die Matrix nicht den Rang 4 erreichen.
2) [mm] r(\lambda) \ge [/mm] 3 genau dann, wenn [mm] \lambda \not= [/mm] 1 und [mm] \lambda \not= [/mm] -3
ich würde sagen, dass diese aussage richtig ist aber wie kann ich das allgemein zeigen?..ich hab das für die beiden Fälle nach gerechnet und für einige anderen und bin immer zu dieser Aussage gelangt..
3) [mm] r(\lambda) [/mm] = 0 für [mm] \lambda=0
[/mm]
diese Aussage ist auch falsch denn:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 }= \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -7 & 2 \\ 0 & 1 & 1 }= \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -7 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \bruch{2}{7} }
[/mm]
somit wäre gezeigt, dass die Matrix denn den Rang 3 hat...
sind meine Überlegungen soweit richtig?
LG Schmetterfee
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Hallo Schmetterfee,
> Für [mm]\lambda \in \IR[/mm] sei [mm]r(\lambda)[/mm] der Rang der reelen
> Matrix
> [mm]A_{\lambda}:= \pmat{ 1 & 2 & \lambda \\ 2 & -3 & 2 \\ \lambda & 1 & 1 }[/mm]
>
> Richtig oder falsch:
> 1) [mm]r(\lamda) \ge[/mm] 4 für alle [mm]\lambda \ge[/mm] 1000000
> 2) [mm]r(\lambda) \ge[/mm] 3 genau dann, wenn [mm]\lambda \not=[/mm] 1 und
> [mm]\lambda \not=[/mm] -3
> 3) [mm]r(\lambda)[/mm] = 0 für [mm]\lambda=0[/mm]
> Hallo
>
> ich bitte nur um eine kurze Korrektur fals meine eigenen
> Gedanken richtig sind.
>
> 1) [mm]r(\lamda) \ge[/mm] 4 für alle [mm]\lambda \ge[/mm] 1000000
> diese aussage ist falsch, weil dir Matrix jetzt schon als
> vollen Rang höchstens [mm]r(\lambda)=3[/mm] hat und somit wird die
> Matrix nicht den Rang 4 erreichen.
Fangfrage
>
> 2) [mm]r(\lambda) \ge[/mm] 3 genau dann, wenn [mm]\lambda \not=[/mm] 1 und
> [mm]\lambda \not=[/mm] -3
> ich würde sagen, dass diese aussage richtig ist aber wie
> kann ich das allgemein zeigen?..ich hab das für die beiden
> Fälle nach gerechnet und für einige anderen und bin immer
> zu dieser Aussage gelangt..
Bringe die Matrix in Zeilenstufenform.
Das gibt nach meiner schnellen Rechnung
[mm] $A=\pmat{1&2&\lambda\\0&-7&2-2\lambda\\0&0&-3(\lambda^2+2\lambda-3)}$ [/mm] rechne das mal nach ...
Und das wird mit binomischer Formel genau für [mm] $\lambda=1,-3$ [/mm] zu Null, also ...
>
> 3) [mm]r(\lambda)[/mm] = 0 für [mm]\lambda=0[/mm]
> diese Aussage ist auch falsch denn:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 }= \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -7 & 2 \\ 0 & 1 & 1 }= \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -7 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \bruch{2}{7} }[/mm]
Die "=" sind falsch, und im letzten Eintrag [mm] $a_{33}$ [/mm] erhalte ich 9, ändert aber an der Falschheit der Aussage nix!
Du hast also Recht!
>
> somit wäre gezeigt, dass die Matrix denn den Rang 3
> hat...
>
> sind meine Überlegungen soweit richtig?
Ja!
>
> LG Schmetterfee
Gruß
schachuzipus
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Danke schön für die schnelle Antwort..jetzt habe ich das zweite auch verstanden danke...
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Di 20.04.2010 | | Autor: | Ersty |
Hallo Schmetterfee,
alternativ kannst du natürlich auch die Determinante dieser Matrix ausrechnen, aber deine Überlegungen sind, bis auf (2) richtig.
Ich verstehe (2) so, dass [mm] \lambda \ne [/mm] 1, bzw 3 nicht verhindert, dass du für [mm] \lambda [/mm] auch 0 einsetzen kannst. Dann wäre die Aussage falsch.
Sehe ich das richtig?
MFG Ersty
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Di 20.04.2010 | | Autor: | Ersty |
Ähm.... jaa, eindeutig zu viel Mathe^^
Vergiss die Aussage mit [mm] \lambda [/mm] = 0 oben bitte^^
Wenn [mm] \lambda [/mm] = 0, dann hat die Matrix 3 Lineare Spalten- bzw. Zeilenvektoren und hat damit vollen Rang, also 3.
Also 2 ist richtig :=)
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