Rang einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 So 05.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
| Aufgabe | sei k [mm] \in \IN^+ [/mm] . Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix des [mm] \IR^{kxk}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & ... & k \\ 2 & 3 & ... & k+1 \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ k & k+1 & ... & 2k-1} [/mm] |
hey Leute,
bei der Aufgabe komm ich einfach nciht darauf wie ich es Beweisen soll,
ich gehe mal davon aus das der Rang k ist, weil ich alle zeilen linar unabhänig sind (meiner meinung nach)
aber wie beweise ich es?
habe es schon mit induktion versucht aber bin leider gescheitert
kann mir bitte einer helfen
LG Ray
PS: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 So 05.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
kein Wunder, dass dein Induktionsbeweis nicht hinhaut, wenn die Behauptung, die du beweisen willst, gar nicht stimmt.
Tipp : Probiere es mit konkreten kleinen Werten von k, z.B. k=4 und berechne den Matrizenrang. Dann bekommst du ein Gefühl dafür, was der allgemeine Rang sein wird und wahrscheinlich auch dafür, wie du es beweisen kannst.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 05.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
okay danke schön
dann ist meine behauptung jetzt, das der rang 2 ist ausser bei k = 1?
habe es jetzt für k =3,4,5 getestet
und wie beweise ich es jetzt? induktion geht ja jetzt schlecht, wenn es für k=1 nicht klappt oder?
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Hallo Ray,
> dann ist meine behauptung jetzt, das der rang 2 ist ausser
> bei k = 1?
Was macht das Fragezeichen da? Ist das nun eine Behauptung oder eine Frage?
> habe es jetzt für k =3,4,5 getestet
Für k=2 ist es offensichtlich.
> und wie beweise ich es jetzt? induktion geht ja jetzt
> schlecht, wenn es für k=1 nicht klappt oder?
Wieso? Die Induktion kann doch auch bei k=2 beginnen. Dann gilt die Behauptung eben erst ab k=2, und das ist ja auch der Fall.
Du kannst aber alternativ auch zeigen, dass die erste und die zweite Zeile immer linear unabhängig sind.
Und ab da wird von Zeile zu Zeile immer nur die Differenz zwischen der zweiten und der ersten Zeile hinzuaddiert. Was für den Rang heißt, dass...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 So 05.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
okay danke des hilft mir echt viel^^
also ist die behauptung: der Rang für k [mm] \in \IN^+ \setminus [/mm] { 1 } ist 2
die linare unabhänigkeit kann ich ja dann zeigen, dass ich die erste Zeile nciht als linar kombination der zweiten schreiben kann also
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ . \\ .\\ k} [/mm] = µ [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ . \\ . \\ k+1}
[/mm]
aus der ersten Zeile würde µ= 1/2 folgen und aus der zweiten würde µ = 2/3 folgen => l.u
okay , aber wie zeige ich, dass die anderen Zeilen nur ein vielfaches von der zweiten Zeile sind?
LG Ray
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Hallo nochmal,
> okay danke des hilft mir echt viel^^
> also ist die behauptung: der Rang für k [mm]\in \IN^+ \setminus[/mm]
> { 1 } ist 2
Genau.
> die linare unabhänigkeit kann ich ja dann zeigen, dass ich
> die erste Zeile nciht als linar kombination der zweiten
> schreiben kann also
>
> [mm]\vektor{1 \\
2 \\
. \\
.\\
k}[/mm] = µ [mm]\vektor{2 \\
3 \\
. \\
. \\
k+1}[/mm]
>
> aus der ersten Zeile würde µ= 1/2 folgen und aus der
> zweiten würde µ = 2/3 folgen => l.u
Falls 1.u sowas wie "Widerspruch" heißt, stimmt das bis hier. 
> okay , aber wie zeige ich, dass die anderen Zeilen nur ein
> vielfaches von der zweiten Zeile sind?
Am besten gar nicht, weil es nicht stimmt. Aber wenn [mm] Z_i [/mm] die i-te Zeile bezeichnet, dann gilt für i>2:
[mm] Z_i=Z_{i-1}+Z_2-Z_1
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 So 05.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
danke nochmal^^
ja des l.u sollte linar unabhänig heißen
also wegen dem widerspruch ist es l.u da es nciht als linear kombi dastellbar ist
okay danke, aber diese aussage kann ich dann mit induktion beweisen oder?
sorry für meine viele fragen xD
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Hallo nochmal,
> ja des l.u sollte linar unabhänig heißen
> also wegen dem widerspruch ist es l.u da es nciht als
> linear kombi dastellbar ist
Ach so. Ich habe "Eins U" gelesen...
> okay danke, aber diese aussage kann ich dann mit induktion
> beweisen oder?
Kannst Du. Einfacher ist doch aber der andere Weg, da spart man sich die Induktion. Aber egal, Hauptsache Du zeigst es.
> sorry für meine viele fragen xD
Hm. Na gut. 
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 So 05.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
danke^^ du hast mir echt geholfen
ich wünsch dir noch einen schönen 2. Advent
liebe Grüße Ray
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 So 05.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hej,
freut mich. Dir auch noch einen schönen Rest des Sonntags.
Hier schneits, aber irgendwie freue ich mich nicht wie ein Schneekönig.
ciao,
reverend
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