Rang einer Matrix Parameter T < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Do 03.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
| Aufgabe | Gegeben ist A= [mm] \pmat{ t & 3 & -1 \\ 3 & 6 & -2\\ -1 & -3 & t }
[/mm]
Wie hängt der Rang der Matrix Rg(A) vom Parameter t ab? |
Hallo 
Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe.
Wie man den Rang einer Matrix berechnet denke ich zu wissen.
Matrix mit Herrn Gauß in Stufenform bringen, und die Anzahl der Zeilen die NICHT nur Nullen enthält, ist der Rang der Matrix.
Wie bekomme ich aber raus, bei welcher Zahl für den Parameter t der Rang 1,2 oder 3 beträgt?
Gibt bestimmt einen einfachereren Weg als für den Parameter irgendwelche Zahlen auszuprobieren :-P .
Freue mich auf Hilfestellungen.
Lösungen sollen übrigens sein:
Rang 2 t=1 und [mm] \bruch{3}{2}, [/mm] Rang 3 t=sonstige
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Gegeben ist A= [mm]\pmat{ t & 3 & -1 \\ 3 & 6 & -2\\ -1 & -3 & t }[/mm]
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> Wie hängt der Rang der Matrix Rg(A) vom Parameter t ab?
> Hallo
>
> Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe.
>
> Wie man den Rang einer Matrix berechnet denke ich zu
> wissen.
>
> Matrix mit Herrn Gauß in Stufenform bringen, und die
> Anzahl der Zeilen die NICHT nur Nullen enthält, ist der
> Rang der Matrix.
>
Ja, und genau das wird die Grundlage deiner Rechnung sein.
> Wie bekomme ich aber raus, bei welcher Zahl für den
> Parameter t der Rang 1,2 oder 3 beträgt?
>
> Gibt bestimmt einen einfachereren Weg als für den
> Parameter irgendwelche Zahlen auszuprobieren :-P .
>
Beginne einmal wie gewohnt mit dem Gauß-Verfahren und behandle dabei t wie eine Zahl. Wenn du in der linken Spalte zwei Nullen erzeugt hast, dann wirst du sehen, dass man für die genannten Werte von t jeweils eine Nullzeile bekommt.
> Freue mich auf Hilfestellungen.
>
> Lösungen sollen übrigens sein:
>
> Rang 2 t=1 und [mm]\bruch{3}{2},[/mm] Rang 3 t=sonstige
>
>
Ja: diese Lösungen stimmen. Und jetzt schreib ich mal etwas für meine Verhältnisse ungewohntes: 
Das mit dem Ausprobieren, das ist hier gar nicht die schlechteste Idee. Wenn man scharf hinsieht, kann man für die beiden angebebenen Werte auf jeden Fall sofort sagen, dass sie den Rang reduzieren werden. Nachrechnen sollte man natürlich dennoch.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Do 03.07.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Diophant,
die Frage, die man sich aber auch noch stellen sollte ist: Gibt es ein [mm] t\in\IR, [/mm] derart, dass rg(A)=1 ?
Also mein Auge ist diesbzgl nicht so gut geschult. Ich müsste nachrechnen.
Im übrigen könnte man natürlich auch mal die Determinante berechnen. Damit kann man auch ein paar Fälle ausschließen. Gerade bei den pathologischen Fällen kann man dann direkt durch Einsetzen und Gauß den Rang bestimmen.
Howdy!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Do 03.07.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Richie,
> Hallo Diophant,
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> die Frage, die man sich aber auch noch stellen sollte ist:
> Gibt es ein [mm]t\in\IR,[/mm] derart, dass rg(A)=1 ?
>
So hatte ich das eigentlich auch gemeint, nur nicht so präzise ausgedrückt. Du hast es ja jetzt auf den Punkt gebracht.
> Howdy!
Hugh, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Do 03.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Ich habe gerade arge Probleme die Stufenform zu erstellen. Es will einfach nicht hinhauen bei mir. Der Parameter bringt mich raus, auch wenn es eigentlich wie eine normale Zahl behandelt werden soll.
In wieweit hilft mir die Determinante weiter? Kann ich die Determinante bei einer quadratischen Matrix mit Sarrus berechnen ?
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Hallo,
> Ich habe gerade arge Probleme die Stufenform zu erstellen.
> Es will einfach nicht hinhauen bei mir. Der Parameter
> bringt mich raus, auch wenn es eigentlich wie eine normale
> Zahl behandelt werden soll.
Dann solltest du deine Rechnung posten bis zu dem Punkt, an dem es hakt ...
>
> In wieweit hilft mir die Determinante weiter?
Wenn die Determinante [mm] $\neq [/mm] 0$ ist, ist die Matrix invertierbar, hat mithin vollen Rang.
Für diejenigen $t$, die zu $det(A)=0$ führen, untersuche die Matrix separat auf ihren Rang ...
> Kann ich die
> Determinante bei einer quadratischen Matrix
Gegenfrage: Wie ist es mit der Determinante bei nicht-quadratischen Matrizen?
> mit Sarrus
> berechnen ?
Sarrus ist für [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrizen!
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Do 03.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ich habe gerade arge Probleme die Stufenform zu erstellen.
> Es will einfach nicht hinhauen bei mir. Der Parameter
> bringt mich raus, auch wenn es eigentlich wie eine normale
> Zahl behandelt werden soll.
Aber in dem anderen Thread vor Kurzem hattest du doch genau das auch gemacht, ebenfalls mit einem Parameter. Das ist doch hier genau das Gleiche, sogar ein wenig einfacher. Woran hakt es denn konkret? Bei welchem Schritt?
EDIT: Vielleicht noch ein kleiner Hinweis, falls dich der Parameter t an Anfang der ersten Zeile irritiert. Der Rang einer Matrix bleibt beim Umordnen von Zeilen oder Spalten erhalten. Du kannst also bei Bedarf die Reihenfolge der Zeilen ändern. U.U. sparst du dir da die Fallunterscheidung (t=0 oder nicht).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Do 03.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Danke für eure tolle Hilfe schonmal.
Angefangen habe ich indem ich die zu der dritten Zeile das 3-fache der Ersten hinzuaddiere. Dann habe ich folgendes:
[mm] \pmat{ t & 3 & -1 \\ 3 & -6 & -2\\ (-1+3t) & 0 & (t-3) }
[/mm]
dann würde ich zu der 2. Zeile das 2-fache der 1. Zeile addieren und würde folgendes bekommen:
[mm] \pmat{ t & 3 & -1 \\ (3+2t) & 0 & 0\\ (-1+3t) & 0 & (t-3) }
[/mm]
Und dann stoppt es bei mir. Irgendwie habe ich ein Brett vorm Kopp.
Kann ich hier jetzt Spalten und Zeilen vertauschen á la:
[mm] \pmat{ 3 & -1 & t \\ 0 & (t-3) & (-1+3t)\\ 0 & 0 & (3+2x) }
[/mm]
Ich denke mal ich hab mich da irgendwie verrant..
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Hallo,
> Danke für eure tolle Hilfe schonmal.
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> Angefangen habe ich indem ich die zu der dritten Zeile das
> 3-fache der Ersten hinzuaddiere. Dann habe ich folgendes:
>
> [mm]\pmat{ t & 3 & -1 \\ 3 & -6 & -2\\ (-1+3t) & 0 & (t-3) }[/mm]
>
> dann würde ich zu der 2. Zeile das 2-fache der 1. Zeile
> addieren und würde folgendes bekommen:
>
>
> [mm]\pmat{ t & 3 & -1 \\ (3+2t) & 0 & 0\\ (-1+3t) & 0 & (t-3) }[/mm]
>
Wenn du das richtig gerechnet hättest, sähe es so aus:
[mm] \pmat{ t & 3 & -1 \\ 3 & 6 & -2 \\ 3t-1 & 6 & t-3 }
[/mm]
Bedeutet also: du hast hier schon Rechenfehler gemacht.
> Und dann stoppt es bei mir.
Ja nun, dass ist beim Gauß-Verfahren kein Wunder. Einmal verrechnet, und dann kommt nur noch Mist raus...
Probiere mal besser folgendes: nennen wir die Zeilen der Matrix I, II und III. Dann bekommst du mit den Operationen
I+t*III
sowie
3*I-t*II
eine Version der Matrix, an der man das Resultat bereits eindeutig ablesen kann.
Mache dir mal deine Rechnefehler klar und dann starte noch mal einen konzentrierten Versuch.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Do 03.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Hallo nochmal, ich glaube es ist zu spät für mich um das Gaußmäßig zu lösen..
ich habe die Determinante jetzt mit Sarrus berechnet ( glaube ich zumindest). Sarrus war nur, und ausschließlich nur für 3x3 matrizen? oder habe ich da was durcheinander bekommen? naja auf jedenfall bekomme ich eine quadratische gleichung raus
[mm] 6x^2 [/mm] -15x +9
PQ Formel angewendet und die Nullstellen sind [mm] \bruch{3}{2} [/mm] und 1
Das interpretiert bedeutet, dass für diese beiden Werte die Determinante 0 werden würde und wenn die Determinante =0 ist dann haben wir nicht den vollen Rang. Das heißt für alles außer [mm] \bruch{3}{2} [/mm] und 1 bekomme wir den vollen Rang.
Nun untersuche ich was passiert wenn ich die beiden werte in die matrix einsetze. dann stufenform und dann ablesen welcher rang sich ergibt.
und tatsache für [mm] \bruch{3}{2} [/mm] sowie für 1 ergibt sich der Rang 2, da nur die letzte Zeile der matrix komplett aus nullen besteht
unterschreibt ihr das so?
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Hi,
> Hallo nochmal, ich glaube es ist zu spät für mich um das
> Gaußmäßig zu lösen..
Glaub ich dir. Manchmal ist es zum ausrasten, wenn man sich immer wieder verzettelt.
>
> ich habe die Determinante jetzt mit Sarrus berechnet (
> glaube ich zumindest). Sarrus war nur, und ausschließlich
> nur für 3x3 matrizen? oder habe ich da was durcheinander
> bekommen? naja auf jedenfall bekomme ich eine quadratische
> gleichung raus
>
> [mm]6x^2[/mm] -15x +9
>
> PQ Formel angewendet und die Nullstellen sind [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
> und 1
>
> Das interpretiert bedeutet, dass für diese beiden Werte
> die Determinante 0 werden würde und wenn die Determinante
> =0 ist dann haben wir nicht den vollen Rang. Das heißt
> für alles außer [mm]\bruch{3}{2}[/mm] und 1 bekomme wir den vollen
> Rang.
>
> Nun untersuche ich was passiert wenn ich die beiden werte
> in die matrix einsetze. dann stufenform und dann ablesen
> welcher rang sich ergibt.
>
> und tatsache für [mm]\bruch{3}{2}[/mm] sowie für 1 ergibt sich der
> Rang 2, da nur die letzte Zeile der matrix komplett aus
> nullen besteht
>
> unterschreibt ihr das so?
Ich drück dir sogar noch nen Stempel drauf.
Für Überprüfung der zeilenstufenform, kann man sich auch mal beim Herrn Brünner umschauen:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gaussjordan.htm
Sehr praktisches Skript!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Do 03.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Super, ich freue mich gerade das geschafft zu haben!
eine Frage hätte ich dennoch:
Bei dieser Aufgabe konnte ich das ja einfach mit der Determinante und den Nullstellen berechnen.
Wenn ich nun aber diesen Fall nehme:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & x \\ 1 & x & 1\\ x & 1 & 1 }
[/mm]
Ich habe versucht auch hier die Determinante zu berechnen,
als Gleichung bekomme ich aber 3x - [mm] x^3 [/mm] - 2
Pq Formel klappt hier nicht, da nicht quadratisch?
Polynomdivision eventuell?
Oder kann man diese Aufgabe nicht nach dem vorherigen Prinzip berechnen?
Lg Jengo
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> Super, ich freue mich gerade das geschafft zu haben!
>
> eine Frage hätte ich dennoch:
>
> Bei dieser Aufgabe konnte ich das ja einfach mit der
> Determinante und den Nullstellen berechnen.
>
> Wenn ich nun aber diesen Fall nehme:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & x \\ 1 & x & 1\\ x & 1 & 1 }[/mm]
>
> Ich habe versucht auch hier die Determinante zu berechnen,
>
> als Gleichung bekomme ich aber 3x - [mm]x^3[/mm] - 2
>
> Pq Formel klappt hier nicht, da nicht quadratisch?
Korrekt.
>
> Polynomdivision eventuell?
Ja, einfach eine Nullstelle raten. Dann kann man eine Polynomdivision durchführen.
Aber mal ehrlich: Das Beispiel ist sicherlich zu einfach. Schon allein, wenn man sich die Matrix betrachtet, könnte man eine Nullstelle der Determinante herausfinden.
Bei dieser Aufgabe würde ich auf jeden Fall Gauß verwenden.
>
> Oder kann man diese Aufgabe nicht nach dem vorherigen
> Prinzip berechnen?
Wie immer: So mancher Weg führt ans Ziel.
>
> Lg Jengo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Do 03.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Also für t=1 ist der Rang der Matrix 1 und für t=-2 ist der Rang 2
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Ja, das hoffe ich doch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Fr 04.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Ja, denn t=1 ist eine Doppellösung deiner kubischen Gleichung und so gibts nur die beiden Werte 1 und -2 zu untersuchen.
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