Rang zweier Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallöchen!
Gibt es den Rang einer matrix,der z.B. 0,5 sein?
Ich hab nämlich die Aufgabe:
Sei n>1.
Finden Sie für jedes k Element {0,...,n} zwei reelle n*n Matrizen A und B,
so dass rgA*rgB ungleich Null ist und rgA*B=k!
Die zweite Bedingung heißt doch, dass der Rang von Multiplizierten Matrizen zwischen 0 und 1 liegen muss, oder?
Kann mir das gar nicht vorstellen, wie das gehen soll. Dachte der Rang ist immer eine natürliche Zahl! Die erste Bedingung, stell ich mir nicht so schwer voll, aber die zweite kann ich mir gar nicht erklären!
Könnt ihr mir vielleicht helfen?
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Hallo,
erstmal zum Rang einer Matrix:
Der Rang einer Matrix ist die Zahl der linear unabhängigen Spalten bzw. Zeilen (ist egal welches man betrachtet).
Das heißt natürlich, dass der Rang nur eine ganze Zahl größer gleich 0 sein kann.
Der Rang einer Matrix kann bei einer Matrix [mm] \IR^{nxm}
[/mm]
bei [mm] n\le [/mm] m maximal m oder bei m [mm] \le [/mm] n maximal n sein.
Für deine Aufgabe gilt dann ja:
Soll rg(A) * rg(B) [mm] \not= [/mm] 0 sein, dann müssen sie beide mindestens den
Rang 1 haben.
Deine zweite Bedingung ist ein wenig komisch, denn
für rg(A), k gilt [mm] \in \IN [/mm] und daher kann
rg(A) * B unmöglich eine Zahl k [mm] \in \IN [/mm] ergeben.
Hast du vielleicht einen Tippfehler hierdrin?
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Also, die genaue Aufgabenstellung lautet:
Sei n>1.
Finden Sie für jedes k Element {0,...,n} zwei reelle n*n Matrizen A und B,
so dass rgA*rgB ungleich Null ist und rg(A*B)=k.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 So 13.02.2005 | | Autor: | DeusRa |
Also, was gemeint ist wenn Rg(A*B) = 0 für alle k meinen soll kann ich mir nur so vorstellen, dass dieses nicht für k=0 gilt.
Z.b. gilt Rang A [mm] \not= [/mm] 0 und Rang B [mm] \not= [/mm] 0, sodass Rang A * Rang B [mm] \not= [/mm] 0 und dass Rg(A*B) = 0 gilt kann ich mir anhand z.b dieser Matrizen vorstellen:
[mm] A=\pmat{ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & a } [/mm] und [mm] B=\pmat{ b & b & b \\ b & b & b \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Rang(A*B) = 0.
Also muss z.b. die dritte (n-te) Spalte von A ungleich 0 (der Rest jedoch 0 sein) und die dritte (n-Te) Zeile von B gleich 0 sein.
Inwiefern es dir weiterhilft, weiss ich nicht. Ist jedoch eine Möglichkeit deine Aufgabe zu lösen.
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Hallo,
ok, es gilt:
Ist A regulär (hat also vollen Rang --> rg(A) = n), so gilt für alle B [mm] \in \IN^{nxn}:
[/mm]
Rg(A*B) = Rg(B).
Das heißt, dass du die Matrix A regulär wählen musst, z.B. die Einheitsmatrix,
und die Matrix B muss den Rang k haben, d.h. die Einheitsmatrix
in den ersten k Spalten und dananch nur noch 0.
Und die erste Bedingung ist auch erfüllt, denn
rg(A) = n und rg(B) = k --> n*k [mm] \not= [/mm] 0
klar?
Gruß
marthasmith
Für n = 3:
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
B = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 So 13.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
deine Antwort bedarf noch ein wenig Überarbeitung, ist aber inhaltlich richtig, aber: Hinweis:
dies funktioniert natürlich nicht für k=0, was hier auch gefordert ist !!
Aber das kann man leicht extra behandeln...
Vielleicht sollte man sich mal Gedanken dazu machen, was A*B also Abbildung darstellt....
viele Grüße
DaMenge
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