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| Aufgabe | ich habe hier eine Matrix.
[mm] \pmat{ cosa & -rsina \\ sina & rcosa } [/mm]
Wie lautet der Rang? |
Der Rang ist doch die Anzahl der Nichtnullzeilen der Zeilenstufenform, oder?
Oder muss es die Treppennormalform sein? (ich denke das ist zuviel des Guten, wenn es nur um den Rang geht, oder?)
Jedenfalls liegt mir hier als Treppennormalform dieser Matrix die zeilenäquivalente Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] vor.
Wie kommt man denn darauf?
die erste Zeile mit sina und die zweite mit (-cosa) durchmultiplizieren und dann die erste zur zweiten addieren:
[mm] \pmat{ cosa & -rsina \\ 0 & -rsin^2a+rcos^2a } [/mm]
Und dann? Kann ich irgendwie das [mm] sin^2+cos^2=1 [/mm] nutzen?
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Hi,
wie immer gibt es mehrere Möglichkeiten:
Die einfachste: Berechne die Determinante. Diese ist stets ungleich Null für [mm] r\not=0. [/mm] Damit ist A nichtsingulär, also hat sie inbesondere vollen Rang.
Du möchtest aber gerne umformen, ok.
> ich habe hier eine Matrix.
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> [mm]\pmat{ cosa & -rsina \\ sina & rcosa }[/mm]
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> Wie lautet der Rang?
> Der Rang ist doch die Anzahl der Nichtnullzeilen der
> Zeilenstufenform, oder?
> Oder muss es die Treppennormalform sein? (ich denke das
> ist zuviel des Guten, wenn es nur um den Rang geht, oder?)
>
> Jedenfalls liegt mir hier als Treppennormalform dieser
> Matrix die zeilenäquivalente Matrix [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> vor.
> Wie kommt man denn darauf?
>
> die erste Zeile mit sina und die zweite mit (-cosa)
> durchmultiplizieren und dann die erste zur zweiten
> addieren:
>
> [mm]\pmat{ cosa & -rsina \\ 0 & -rsin^2a+rcos^2a }[/mm]
Du hast doch die erste Zeile mit [mm] \sin{a} [/mm] multipliziert. Das sollte eigentlich noch in der Matrix stehen.
Es ist übrigens [mm] \cos^2x-\sin^2x=\cos{2x} [/mm] Damit vereinfacht sich das schon einmal wieder.
Nun könnte man überlegen, wann der [mm] \cos{2x} [/mm] Null wird. Entsteht also für bestimmte Werte von x eine Nullzeile? (vorausgesetzt sei natürlich immer, dass [mm] r\not=0.
[/mm]
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> Und dann? Kann ich irgendwie das [mm]sin^2+cos^2=1[/mm] nutzen?
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